Читать онлайн «Задачи Коши для ультрагиперболических уравнений»

российская московский академия наук государственный университет ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК Д. П. Костомаров Задача Коши МОСКВА -НАУКА- 2003 УДК 51 ББК'22. 161. 6 К72 Рецензенты: доктор физико-математических наук A. M. Денисов доктор физико-математических наук Л А. Дезин Костомаров Д. П. Задачи Коши для ультрагиперболических уравнений / Д. П. Костомаров; - М. : Наука. 2003. - 79 с. ISBN 5-02-006463-7 (в пер. ) В книге рассматривается задача Коши для ультрагиперболических уравнений размерности 3 на 3 и 3 на 2. Начальные условия в случае трехмерного временного пространства задаются на сфере ψ} +1\ +1\ = м>, в случае двумерного - на окружности V/,2+>2 ='<>· Такие задачи обладают одновременно как гиперболическими, так и эллиптическими свойствами. С помощью метода Римана и метода усреднения получены явные формулы для решений. Это позволило исследовать вопросы существования, единственности и непрерывной зависимости решений от начальных условий, изучить свойства решений. По сети АК ISBN 5-02-006463-7 © Российская академия наук, 2003 © Издательство "Наука" (художественное оформление), 2003 ПРЕДИСЛОВИЕ Ультрагиперболические уравнения обделены вниманием математиков, поскольку в прикладных исследованиях обычно не встречаются. Поэтому выбор темы, которой посвящена книга, требует пояснения. Пару лет назад, рассматривая ультрагиперболическое уравнение размерности 3 на 3 д2и д2и д2и _ д2и д2и д2и я обратил внимание на следующее обстоятельство. Если отойти от традиций и поставить начальные условия в пространстве Гз не на плоскости /з = 0, а на сфере / = /0, то у трехмерного времени t = {tu /2, /з} появится "главная" составляющая /= ψ2 +ί2 +t2. Вторая особенность такой нетрадиционной задачи Коши оказалась еще интереснее. Введем во временном пространстве Гз сферические координаты /, θ, φ, зададим на гиперповерхности t = ίο начальные функции /χ, θ, φ) и g(x, 0, φ) и рассмотрим задачу Коши в двух вариантах. 1. Пусть функции/и g не зависят от углов θ и φ, тогда задача будет обладать сферической симметрией во временном пространстве Г3: и = = и(х, /). При таком предположении исходное ультрагиперболическое уравнение переходом к новой функции ν = ut сводится к обычному уравнению колебаний: d2v d2v d2v _ d2v l)x} + ~dxj +дх] ~ dt2' Решение задачи Коши для него хорошо известно: оно дается формулой Пуассона. 2. Пусть функции /и g не зависят от пространственных координат х\, jc2, а'з, тогда получаем задачу Коши для уравнения Лапласа во временном пространстве Тъ с начальными условиями, заданными на сфере < = tQ. Итак, одна и та же задача в зависимости от конкретного вида начальных функций может быть как гиперболической, так и эллиптиче- з ской. Этот дуализм заинтересовал меня как любопытное математическое явление. Захотелось посмотреть, как он будет влиять на свойства решения задачи при различных начальных функциях. Так начались исследования, результаты которых были опубликованы в работах [1]—[6] и теперь в расширенном и переработанном виде составили содержание книги.