Читать онлайн «Алгебра. 8 класс. Сборник задач»

Группы и алгебры Ли. Основные положения общей теории А. Н. Панов 1 Введение Теории групп и алгебр Ли посвящена обширная библиография. Однако многочисленные теоремы разбросаны по разным источникам, разобраться в которым нелегко студенту. Цель этого пособия дать краткое изложение основ теории групп и алгебр Ли и предложить ряд задач, решение ко- торым будет способствовать усвоению материала. Доказательства теорем иногда опускаются, их можно найти в книгах [1, 2, 4, 3, 5]. От читателя потребуется знания по алгебре, геометрии и топологии в объеме 1-2 курса мехмата. 2 Алгебры Ли Пусть K – поле характеристики нуль. Определение 2. 1. Линейное пространство g над полем K называют ал- геброй Ли, если в g определена операция x, y 7→ [x, y] (называется ком- мутатором), удовлетворяющая следующим аксиомам: 1) операция [x, y] линейна по x и y; 2) [x, y] = −[y, x] для любых x, y ∈ g (аксиома кососимметричности); 3) [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0 для любых x, y, z ∈ g (тождество Якоби). Замечание. Аксиомы 2) и 3) можно заменить на равносильные аксиомы 2’) [x, x] = 0, 3’) [x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]]. Примеры. 1) Алгебра Vect3 геометрических векторов с операцией [x, y] векторное произведение. 2) Алгебра Ли gl(V ) линейных операторов в линейном пространстве V . Операция [φ, ψ] = φψ − ψφ. 3) Полная линейная алгебра Ли gl(n, K), состоящая из всех матриц раз- мера n × n с элементами из поля . Коммутатор матриц определяется по формуле [A, B] = AB − BA. 1 4) Алгебра Ли гладких (т. е бесконечно дифференцируемых) векторных по- лей Vect(Rn ) на Rn . Чтобы определить коммутатор отождествим вектор- ное поле a : Rn → Rn c дифференциальным оператором первого порядка ∂ ∂ Da = a1 (x1 , . . . , xn ) + · · · + an (x1 , . . . , xn ) . ∂x1 ∂xn Коммутатор векторных полей определяется как коммутатор соответству- ющих дифференциальных операторов D[a,b] = [Da , Db ] = Da Db − Db Da . 5) Произвольное линейное пространство с нулевым коммутатором. Такие алгебры Ли называют коммутативными. Пусть g алгебра Ли и h подмножество g. Определение 2. 2. Говорят, что h подалгебра Ли в g, если и h является алгеброй Ли относительно операций из g. Для того, чтобы h являлось подалгеброй Ли в g необходимо и достаточ- но, чтобы для любых элементов x, y из h элементы x + y, αx и [x, y] также принадлежали h. Определение 2. 3. Говорят, что I идеал в алгебре Ли g, если I линейное подпространство в g и для любых x ∈ g, y ∈ h их коммутатор [x, y] при- надлежит h. Примеры. Во всех приведенных ниже примерах g = gl(n, K). 1) sl(n, K) = {A ∈ gl(n, K) : TrA = 0} (где TrA след матрицы A). Подалгебру sl(n, K) называют специальной линейной алгеброй Ли. 2) o(n, K) = {A ∈ gl(n, K) : At = −A} – алгебра Ли кососимметрических матриц. Здесь At – транспонированная матрица к матрице A. 3) u(n) = {A ∈ gl(n, C) : A∗ = −A} – алгебра Ли косо-эрмитовых матриц.