Читать онлайн «Топологические вопросы теории динамических систем»

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В. В. Немыцкий ПРЕДИСЛОВИЕ Теория динамических систем в настоящее время довольно чётко может быть разбита на две части: топологическая теория и метрическая теория. Существуют, конечно, и пограничные области, однако,поскольку в них разбираются вопросы об установлении инвариантной меры, то и они могут быть отнесены к метрической теории. И первая, и вторая части теории довольно полно изложены в монографии: В. В. Степанов и В. В. Немыцкий «Качественная теория дифференциальных уравнений», Гостехиздат, 1947 г. , поэтому возникает вопрос, для чего, собственно говоря, писать новый обзор на эту тему. Постараюсь это объяснить: я вишу четыре причины, объясняющие появление статьи. 1. Наша монография вышла в 1947 г. и выходит во втором издании в 1949 г. Однако ограниченный объём книги и необходимость осветить в ней все основные вопросы качественной теории не позволили уделить должное место топологической теории динамических систем. Между тем, если в 1941 г. ещё нельзя было говорить о стройной теории динамических систем, то теперь об этом говорить можно и даже должно. Особенно приятно сознавать, что эта законченность теории явилась результатом работ именно советских математиков. 2. До сих пор недостаточно подчёркнут вопрос о приоритете русской науки в ряде вопросов математики, в том числе в теории динамических систем. Поэтому я снабдил все главы предлагаемой статьи подробными историческими замечаниями, где место русских работ выпукло очерчено. 3. В последние годы теория динамических систем привлекла внимание не только московских и ленинградских математиков, но ею начинают интересоваться и в других городах СССР: Киеве, Ростове-на-Дону и т. д. Многие математики интересуются теми- направлениями, в которых можно продолжать работу. Поэтому я собрал в конце каждой главы различные вопросы, которые возникали на моих совместных с В. В. Степановым семинарах. 4. В последние предвоенные годы в теории динамических систем работал талантливый математик Михаил Валерьевич Бебутов. Его работы частично вышли в 1941 г. в изданиях МГУ. Эти выпуски бюллетеней МГУ стали библиографической редкостью; между тем результаты М. В. Бебутова принадлежат к числу лучших результатов теории за последние 10—15 лет. Популяризировать их считаю своим прямым долгом. Я думаю, что эти четыре причины удовлетворительно объясняют появление настоящей статьи. В заключение этого предисловия выражаю благодарность Р. Э. Виноградову за те ценные замечания, которые он сделал после прочтения рукописи. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 91 Глава I. Определения и общие свойства динамических систем 92 § 1. Определение динамической системы и классификация траекторий ... 92 § 2. Примеры: Динамическая система М. В. Бебутова. Динамическая система Понтрягина 93 92 В. В. НЕМЫЦКИЙ § 3. Локальная структура динамических систем 99 § 4. Сводка нерешённых вопросов по тематике главы I 101 § 5. Исторические замечания и литерату]ные ссылки к главе I 102 Глава II. Структура локально компактных динамических систем 103 § 1.