Читать онлайн «Таммовские связанные состояния электронов на поверхности кристалла и поверхностные колебания атомов решётки»

1955 г. Август Т. LVI, вып. 4 УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК ТАММОВСКИЕ СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ НА ПОВЕРХНОСТИ КРИСТАЛЛА И ПОВЕРХНОСТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ РЕШЁТКИ И. М. Лифшиц η С. И. Пекар В первой части статьи даётся обзор последовательных этапов развития теории таммовских поверхностных состояний электронов. Во второй части рассматриваются явления, в которых поверхност- ные состояния электронов играют существенную роль, и приводятся экспериментальные доказательства действительного существования этих состоякиЯ в реальных кристаллах. В третьей части статьи излагается теория поверхностных колебаний кристаллической ре- шётки, которая математически близка и генетически связана с тео- рией поверхностных состояний электронов *). 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ СОСТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОНОВ В 1932 г. И. Е. Тамм на основе квантовой механики впервые показал, что наряду с известными в то время «зонными» состояния- ми электронов в кристалле у поверхности кристалла могут суще- ствовать также состояния электронов совершенно иного типа 1 > 2 . Эти «поверхностные» состояния электронов обладают дискретным энер- гетическим спектром и волновыми функциями, экспоненциально зату- хающими по мере удаления от поверхности как в глубину кристалла,. так и в сторону вакуума. Для количественного рассмотрения вопроса необходимо решить волновое уравнение для электрона, движущегося в статическом потенциальном поле следующего типа: внутри кристалла (область * ^ > 0 ) потенциал предполагается периодическим, а вне кристалла (область х<^0) потенциал постоянный. Плоскость х = 0 представ- ляет собой поверхность кристалла. Поскольку периодический по- тенциал электрона в кристалле известен не точно, а также посколь- ку решить волновое уравнение с периодическим потенциалом в об- щем случае весьма трудно, пришлось, как и в теории «зонных> *) Первые две части статьи написаны С. И. Пекаром, третья часть — И. М. Лифшицем. 532 и. м. ЛИФШИЦ и с. и. ПЕКАР состояний электрона, сначала рассмотреть ряд упрощенных частных случаев (одномерный случай, простейшие виды периодического по- тенциала), а затем, обобщив полученные результаты, сделать вы- воды, справедливые для всех частных примеров и, повидимому, не зависящие от специального выбора периодического потенциала. В одномерном случае волновое уравнение имеет вид: 0 + |τ[Ε-Ι/(*)]ψ = Ο, (1) где U (х) — функция, обладающая периодом решётки при х~^>0 и U = ί/0 — константа при χ <^ 0. Как известно из общей теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, внутри кристалла решение уравнения (1) имеет вид: ψ = Ахик (х) eikx -\- A,ju^k {x) e~ikx, (2) где uk и М_А — функции, обладающие периодом решётки, Аг- и А% — произвольные постоянные, а коэффициент k является опреде- лённой функцией энергии электрона: к = k (Ε). В неограниченной решётке, простирающейся в направлении χ от — оо д о - ) - 0 0 ' Д л я т о г о чтобы ψ была конечна, необходимо и до- статочно, чтобы коэффициент k был вещественный.