Читать онлайн «Дедекиндовы структуры с дополнениямии регулярные кольца»

т СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ Серия выпускается под общим руководством редакционной коллегии журнала «Успехи математических наук» ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1961 Л. А. СКОРНЯКОВ ДЕДЕКИНДОВЫ СТРУКТУРЫ С ДОПОЛНЕНИЯМИ и РЕГУЛЯРНЫЕ КОЛЬЦА ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1961 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 Введение 9 § 1. Структуры 13 1. Основные определения и простейшие следствия ... 13 2. Независимость • 14 3. Перспективность 15 § 2. Регулярные кольца 18 4. Основные свойства 18 5. Модули и матрицы 22 6. Первая основная теорема 25 § 3. Нормальные автоморфизмы 25 7. Определение и простейшие свойства 25 8. Части 26 9. Симплексы и цепи 28 10. Теорема существования 39 11. Применение к трехмерному проективному пространству 52 § 4. Координатизация структуры 52 12. Группа автоморфизмов 52 13. Операция © 57 14. Части автоморфизмов 64 15. Репер 65 16. Вспомогательное кольцо 72 17. Координатизация структуры (вторая основная теорема) 82 § 5. Полные дедекиндовы структуры с дополнениями ... . 85 18. Некоторые свойства дедекиндовых структур с дополнениями 85 19. Центр полной дедекиндовой структуры с дополнениями 89 20. Строение полной дедекиндовой структуры с дополнениями 95 21. Размерность 101 § 6. Непрерывные геометрии 111 22. Определение 111 23. Независимость в непрерывных геометриях 113 24. Перспективность в непрерывных геометриях 114 25. Строение непрерывных геометрий и их размерность 118 5 § 7. Структурный изоморфизм модулей над регулярным кольцом 123 26. Структурный изоморфизм модулей над регулярным кольцом 123 § 8. ^-регулярные кольца 136 27. Проекции 136 28. Конечность 145 29. Непрерывность 156 30. Полные дедекиндовы структуры с ортодополнениями 168 § 9. Добавления 171 31. Некоторые другие результаты 171 32. Проблемы 179 Литература 186 Указатель обозначений 196 Предметный указатель 197 ПРЕДИСЛОВИЕ «Все в связи и взаимодействии». Нахождение частных проявлений этого общего закона, т. е. установление связей между различными явлениями, — одна из основных задач всякой науки. Поэтому всегда приятно, когда обнаруживаются глубокие связи между, на первый взгляд, совершенно разнородными математическими объектами. Одна из таких связей— связь между дедекиндовыми структурами с дополнениями и регулярными кольцами — вскрылась на стыке алгебры, геометрии и функционального анализа. Более подготовленный читатель может познакомиться с этой идеей подробнее, прочитав следующее ниже введение. Менее подготовленному придется начинать с основного текста, чтение которого формально не требует никакой предварительной подготовки. Все используемые понятия, кроме идеала кольца и частично упорядоченного множества, определяются. Доказательства, особенно на первых порах, проводятся весьма подробно. Ряд интересных результатов, не вошедших в основную линию изложения, формулируется в последнем параграфе. Там же формулируются некоторые проблемы. Отдельные места настоящей работы были прочитаны В.