Читать онлайн «Знакомство с высшей математикой, Книга 3. Алгебра»

Л. С. ПОНТРЯГИН ЗНАКОМСТВО С ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКОЙ • АЛГЕБРА МОСКВА «НАУКАэ ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1987 ББК 22. 143 П56 УДК 512. 64(0. 23) Понтрягин Л. С. П56 Знакомство с высшей математикой: Алгебра. — М. : Наука, Гл. ред. физ. -мат. лит. , 1987. — 136 с. 20 к. 100 000 экз. «Знакомство с высшей математикой» — серия небольших научно-популярных книг, предназначенная школьникам старших классов, интересующимся математикой. Две книги из этой серии уже были опубликованы. Это «Метод координат» (1977 г. и 1987 г. ) и «Анализ бесконечно малых» (1980 г. ). «Алгебра» — третья книга в этой серии. В ней приведены основные результаты алгебры, включая теорию определителей. Этот раздел составляет основную часть книги. Кроме того, в книге содержится раздел, посвященный корням многочленов и комплексным числам. Для школьников старших классов, интересующихся математикой. Может быть полезна также преподавателям средней и высшей школы. Рецензент член-корреспондент АН СССР Я. Р. Шафаревич © Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1987 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие • • 4 Глава 1. Теория определителей 5 § U Векторные пространства 5 § 2. Линейные отображения векторных пространств и матрицы » , * * 12 § 3. Определители »*. ,«, 21 § 4. Решение системы линейных*уравнений 33 § 5. Элементарные преобразования матриц 42 § 6. Ранг матрицы . 52 § 7, Евклидовы векторные пространства 57 Глава 2. Корни многочленов . . , 66 § 8. Комплексные числа . * 66 § 9. Основная теорема алгебры . 73 § 10. Алгоритм Евклида 81 § 11. Наибольший общий делитель двух многочленов . . 85 Глава 3. Приведение матриц к каноническому виду . ... 94 § 12. Связь между линейными отображениями и матрицами 96 § 13. Многочлены от матриц и отображений 101 § 14. Жорданова форма матрицы 111 § 15. Квадратичные формы П6 § 16. Экспонента квадратной матрицы . Y/3 Глава 4. Примеры ; 127 ПРЕДИСЛОВИЕ Несколько лет тому назад я решил написать серию небольших книг под названием «Знакомство с высшей математикой», предназначенную для школьников, интересующихся математикой. Две книги из этой серии «Метод координат» и «Анализ бесконечно малых» уже опубликованы. «Алгебра» является третьей книгой в этой серии. В ней приведены основные результаты алгебры, включая теорию определителей. Этот раздел составляет главную часть книги. Кроме того, книга содержит раздел, посвященный корням многочленов и комплексным числам. При этом правила перемножения комплексных чисел, взятых в тригонометрической форме, доказываются без использования формул тригонометрии для коси- нуса суммы и синуса суммы. Большую работу при редактировании этой книги проделал С. М. Асеев, за что я выражаю ему благодарность. Глава 1 ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ § 1. Векторные пространства В этом параграфе будет рассмотрено важнейшее для линейной алгебры понятие векторного пространства. Определение 1. Последовательность «-(я1,*2, ... . *») (1) из п действительных чисел, расположенных в определенном порядке, указанном в формуле (1), называется п-мерным вектором.