Читать онлайн «Обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями»

УДК 517. 9 ББК 22. 161 С14 Садовничий В. А. , Султанаев Я. Т. , Ахтямов А. М. С14 Обратные задачи Штурма– Лиувилля с нераспадаю- щимися краевыми условиями. – М. : Изд-во Моск. ун-та, 2009. – 184 с. ISBN 978-5-211-05557-5 В настоящей монографии впервые систематически исследуются об- ратные задачи Штурма– Лиувилля с нераспадающимися краевыми усло- виями. В работе сведены воедино, обобщены и дополнены результаты, полученные и опубликованные авторами в журнальных статьях. Книга состоит из трех глав. В первой главе доказываются самые ранние теоремы о единственности решений обратных задач Штурма– Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями, при доказательстве которых был использован метод отображений пространств решений. Во второй главе приводятся теоремы авторов о единственности, разрешимости и устойчивости решений для задачи Штурма– Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями, а также для пучка диффе- ренциальных операторов. Приводятся также соответствующие примеры и контрпримеры. В отличие от первой части здесь основным мето- дом решения обратных задач выступает метод вспомогательных задач, а не метод отображений пространств решений. В третьей главе приводятся результаты восстановления краевых условий задачи Штурма– Лиувилля с известным дифференциальным уравнением. УДК 517. 9 ББК 22. 161 © Московский государственный университет ISBN 978-5-211-05557-5 имени М. В. Ломоносова, 2009  Введение 1. Предыстория и краткое содержание книги В настоящей монографии исследуются обратные задачи Штур- ма– Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. Первой работой, посвященной изучению обратных задач Штур- ма– Лиувилля, была статья В. А. Амбарцумяна [178], вышедшая в 1929 г. Амбарцумян рассмотрел краевую задачу y  qxy  y, y  0  y    0  и показал, что если q x dx  0, а собственные значения суть 0 числа 12 , 22 , . . . , то q x должна тождественно равняться нулю. Эта работа показала, что краевая задача может быть восстановлена по одному набору собственных значений. Однако в 1946 г. Г. Борг установил [185], что задачу y  qxy  y, y  0 hy 0  y    Hy   0 (где коэффициенты h и H не обязательно равны нулю) восстано- вить по одному набору ее собственных значений, вообще говоря, уже невозможно. Боргом было показано, что для восстановления этой задачи нужен еще и набор собственных значений вспомога- тельной задачи y  qxy  y, y  0 h1 y 0  y    Hy   0, h1  h. Теорема Борга вызвала всплеск интереса к обратным зада- чам Штурма– Лиувилля. Теорема показывала, что непрерывная функция (континуум) может быть восстанавлена по счетному мно- жеству собственных значений.