Читать онлайн «Математика для экономистов. Дифференциальные и разностные уравнения Курс лекций»

Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации Е. К. Васенкова, Е. С. Волкова, И. Г. Шандра М АТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс лекций Москва 2002 УДК 33. 51(075. 8) ББК 22. 18 Д33 Рецензен ты: проф. Н. Ш. Кремер (ВЗФ ЭИ), проф. , д. э. н. И. Н. Дрогобыцкий (Ф А) Васенкова Е. К. , Волкова Е. С. , Шандра И. Г. Математика для экономистов. Дифференциальные и разностные уравнения: Курс лекций. М. : Финансовая академия, 2003. 116 с. Данное пособие представляет собой коренную переработку издания 1998 г. и полностью соответствует требованиям новых Госстандартов по математике для экономических специальностей. В нем, в частности, рассмотрены новые темы "Уравнения в полных дифференциалах", "Уравнения, допускающие понижение порядка", "Разностные уравнения". Пособие пополнено новыми примерами и упражнениями, добавлены вопросы для самоконтроля. Пособие предназначено в первую очередь для самостоятельной работы студентов по курсу "Математика" во втором семестре 1-го курса. Параграфы 1–10 написаны И. Г. Шандрой, с § 11 по §14 – И. Г. Шандрой и Е. К. Васенковой, с § 15 по § 17 – И. Г. Шандрой и Е. С. Волковой. ISBN 5-7942-0300-5 © Васенкова Е. К. © Волкова Е. С. © Шандра И. Г. © Финансовая ак адемия при Правительстве РФ, 2003  § 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ПРИМЕРЫ Различные вопросы математики, естествознания, экономики приводят к необходимости решения уравнений, содержащих в качестве неизвестной некоторую функцию y(x) и ее производные до некоторого порядка n. С одним из наиболее простых таких уравнений, уравнением вида y' = f(x), мы уже встречались в интегральном исчислении. Его решением является неопределенный интеграл от f(x). Приведем другие примеры таких уравнений: y' + 2y = x2; y''' + y' = 0; y'' = xy. Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную х с неизвестной функцией y(x) и ее производными до некоторого порядка n включительно, называется дифференциальным уравнением n-го порядка. Таким образом, приведенные выше уравнения являются примерами дифференциальных уравнений соответственно первого, третьего и второго порядков. Любое дифференциальное уравнение может быть записано в виде F(x, y, y',…, y(n)) = 0, (1) где F − некоторая заданная функция, x − независимая переменная, y(x) − искомая функция, а y'(x),…, y(n)(x) − ее производные. Определение. Решением дифференциального уравнения (1) называется функция y(x), имеющая производные до n-го порядка включительно, и такая, что ее подстановка в уравнение (1) обращает его в тождество. Так, например, решением уравнения y' = 2y является функция y = e2x. Легко видеть, что решением этого уравнения будет также любая функция вида y(x) = Ce2x, (2) где С − произвольная постоянная.