Читать онлайн «Элементарное введение в теорию степени. Устойчивые классы уравнений»

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР Новосибирский государственный университет имени Ленинского комсомола Кафедра математического анализа Методические указания по курсу "Элементарное введение в теорию степени11 Щ. Устойчивые классы уравнений и топологическая степень Новосибирск 1982 Составитель: ВЛВ# Иванов Ш часть § 99 Устойчивые классы уравнений и топологическая степень. 9*1. Определение и общие свойства устойчивых классов» 9. 2. Разбиения классов, 9О3. Эквивалентные уравнения. 9,4, Эквивалентность и связность в случае устойчивых классов. 9Л5, Устойчивые характеристики. У* 6. Разрешимость уравнений и класс допустимых уравнений. $,,?• Эквивалентность допустимых уравнений, ^о8. Элементарные уравнения. -о9в Слияние ячеек. чДО. Эквивалентность элементарных уравнений. \,Л1„ Топологическая степень как устойчивая характеристика. I&. Дизъюнктность допустимых уравнений и 1»рушш. ЧДЗ^ Итоги. § 9. Устойчивые классы уравнений и топологическая степень Настоящий параграф занимает особое положение в нашем курсе. Здесь мы попытаемся выработать некую точку зрения на топологическую степень в евклидовом пространстве» в основе которой лежат весьма общие соображения» связанные с устойчи- устойчивостью. Построив некоторую целочисленную характеристику допус- допустимых уравнений и изучив ее свойства» мы можем поставить перед собой ряд совершенно естественных вопросов. Например» зная, что топологическая степень обладает инвариантностью относитель-- но таких преобразований уравнений» как допустимая гомотопия, допустимое движение и допустимые сужение и расширение» мы можем задаться вопросом: нет ли других преобразований уравне- уравнений, которые не изменяют степени? Если есть» то связаны ли они с указанными и как связаны» или же существуют совершенно новые типы преобразований? Далее, интересно было бы понять, нет ли каких-нибудь других характеристик допустимых уравнений (необязательно целочисленных), которые обладали бы аналогич- аналогичным свойством инвариантности. » Если есть, то какое место среди них занимает построенная топологическая степень? Можно также спросить». каков тот перечень свойств степени» которыми она полностью выделяется среди всех отображений, заданных на клас- классе допустимых уравнений? Наконец, почему степень определяется именно на допустимых уравнениях* нельзя ли существенно расши- расширить область ее определения? Если читатель интересуется лишь практической стороной теории степени, он безо всякого ущерба для своих целей сейчас же может приступить к чтению § 10 и следующих, где он найдет для себя много разнообразных примеров применения изучаемой нами теории. Если же моего читателя заинтересовали те вопросы» 4 которые были только что отмечены (тем более, если он сам их перед тем поставил для себя), ему рекомендуется для изучения данный параграф. Впрочем,, и он может прежде посмотреть, обра- обратившись, например, к § £0, как работает степень в различных ситуациях, Убедившись, что степень - это интересная и полез- полезная штука, такой читатель, возможно, получит дополнительный стимул к изучению поставленных здесь вопросов, Сле^зует, все же подчеркнуть, что дальнейшее изложение материала (начиная с § ^0) ни в коей мере не опирается на то, что обсуждается и доказывается здесь, *в § 9Ф 9Д, Определение и общие свойства устойчивых классов.