Читать онлайн «Труды семинара по функциональному анализу. Выпуск 2»

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРУДЫ СЕМИНАРА ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ ВЫПУСК 2 ИЗДАТЕЛЬСТВО ХАРЬКОВСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА имени А. М. ГОРЬКОГО Харьков 1956 Печатается по решению Редакционно-издательского совета Воронежского государственного университета от 8 февраля 1955 г. Редакционная коллегия: академик П. С. Александрову член-корреспондент АН СССР Л. А. Люстерник, профессор М. А. Красносельский (ответ, редактор), доцент В. И. Соболев, профессор Г. Е. Шилов ТРУДЫ ВОРОНЕЖСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Выпуск 2 1956 М. А. КРАСНОСЕЛЬСКИЙ и С Г. КРЕЙН К ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Рассматривая теоремы единственности и нелокальные теоремы существования для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, авторы заметили, что многие из них являются следствиями одного и того же элементарного геометрического соображения. Сюда относятся теоремы единственности типа теоремы Осгуда-Тамаркина [г], [2] (см. также [3] стр. 49. [4] стр. 90), а также различные утверждения Винтнера pj о существовании решений, определенных на полубесконечном интервале изменения независимой переменной. Настоящая работа в основной своей части посвящена развитию упомянутого выше геометрического соображения *. Статья состоит из пяти параграфов. В § 1 настоящей статьи доказываются локальные теоремы существования решений для обыкновенного дифференциального уравнения в банаховом пространстве Ё. В случае конечномерного Ε эти теоремы дают общеизвестные условия существования решений для конечных нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае же бесконечномерного Ε полученные в § 1 предложения можно рассматривать как теоремы о существовании решений у бесконечных систем дифференциальных уравнений или у интегро-дифференциальных уравнений. В § 2 доказываются вспомогательные леммы. Основное содержание статьи заключено в § 3, посвященном нелокальным теоремам существования. Полученные здесь результаты уже для случая конечных нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений являются новыми и более общими, чем ряд предложений Винтнера. В § 4 рассматриваются примеры более конкретного содержания. В этом же параграфе конструируется пример системы обыкновенных дифференциальных уравнений, рассмотрение которого приводит нас к отрицательному ответу на одно предположение Н. П. Еругина [6]. В последнем параграфе метод, который в § 3 был применен к доказательству нелокальных теорем существования, используется для установления общих теорем единственности. § 1. ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 1. Пусть Ε — банахово пространство. Через Т(х0, г) будем обозначать замкнутый шар пространства Ε радиуса г с центром в точке х0. Мы будем рассматривать дифференциальное уравнение $ = /(*, t), (1. 1) * Основные результаты без доказательств были сообщены в [15]. 4 Μ. Α. Красносельский и С. Г. Крейн где f(xt t) — непрерывный оператор со значениями в Е, определенный на топологическом произведении некоторого шара Т(х0, г) и интервала (/0 — a, t0 + a).