Читать онлайн «Об итерационных процедурах в линейных задачах»

• * I МЛ. КРАСНОСЕЛЬСКИЙ ИВ. ЕМЕЛИН B. C. КОЗЯКИН ОБ ИТЕРАЦИОННЫХ ПРОЦЕДУРАХ В ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ПРЕПРИНТ ИНСТИТУТ ΠΡΟΒΛΕΜ УПРАВЛЕНИЯ МОСКВА 1070 УДК 518:517. 948 Красносельский МЛ. , Емелнн И. В. , Коэякян B. C. ОБ ИТЕРАЦИОННЫХ ПГОЦЕДУРАХ В ЛИНЕЙНЫХ ЗАДА- ЧАХ. Препринт. М. , Институт проблем управления, 1979. Излагаются результаты сравнительного анализа метода минимальных невязок и метода обычных итераций приближенного решения систем линейных уравнений с несимметрическими матрицами, анализируется спурт· метод приближенного решения систем линейных уравнений с симметрическими положительно определенными матрицами, изучается возможность регуляризации задачи приближенного решения некорректных линейных уравнений при помощи итерационной процедуры со специальным правилом останова. М. А. Krasnosel'skii, I. V. Yemelin and V. S. Kozyakin. ON ITERATIVE PROCEDURES IN LINEAR PROBLEMS. Preprint. Institute of Control, Moscow, 1979. Results of comparative analysis of the techniques of minimal residues and simple iterations for approximate solution of systems of linear equations with nonsymmetrical matrices are presented. The spurt-method for approximate solution of systems of linear equations with symmetrical positive definite matrices is analyzed and the possibility of regularizing approximate solution to incorrect linear equations via an iterative procedure with a stop rule is studied. Рецензент к. ф. -м. н. Б. Т. Поляк Утверждено к печати Редакционным советом Института C:i&»№9 Оглавление 1. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ МИНИМАЛЬНЫХ НЕВЯЗОК И ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ 5 2. СПУРТ-МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 26 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРОЙ СО СПЕЦИАЛЬНЫМ ПРАВИЛОМ ОСТАНОВА 47 Литература 61 I. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ МИНИМАЛЬНЫХ НЕВЯЗОК И ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ Рассматривается система линейных уравнений вида Ах «Ь (x,bSRN) (U) и обсуждаются два метода приближенного ее решения - минимальных невязок и простых итераций. Метод минимальных навязок Метод минимальных невязок введен и исследован в [ 1 ] для систем (1. 1) с положительно определенными симметрическими матрицами А . Изучение несимметрического случая было осуществлено впервые, по-видимому, в [ 2 ] , где установлено, что сходимость вытекает из одной положительной определенности матрицы А . В [3,4] исследован метод минимальных невязок для случая вырожденных матриц А . Дли нас наиболее важна оценка быстроты сходимости метода минимальных невязок для уравнения (1. 1) с несимметрическими матрицами А ,палученная в [5]· Будем строить итерации Vis\,-VAxn-b>· <Ь2> выбирал у так, чтобы норма невязки Ах г - Ь была минимальной. Тогда у определится формулой <А*п'Уп> у « (1. 3) (Ауп,Ауп) 5 где у «Ах—b,a (·,·)- скалярное произведение в R . η η Итерационный процесс (1. 2) - (1-3) называют методом минимальных невязок. Дальнейшие рассуждения удобно вести сразу для уравнений (1. 1) в вещественном гильбертовом пространстве Η . Обозначим через Sim» Μ, χ; H)(0, χ>0) множество линейных непрерывных операторов в Η , для кото» рых т(х,х)<(Ах,х)<М(х,х) (х€Н) , (1. 4) ||Α-ΑΊΐ<2χ · (1. 5) Пусть В * L (А ♦ А*) , С* *(А- А*). Тогда условия (1. 4) и (1. S) равносильны тому» что спектр самосопряжен* ного оператора В лежит на [ m, Μ ] , а норма кососимметри- ческого оператора С не больше χ .