Читать онлайн «Метод тригонометрических сумм в теории чисел»

И. М. ВИНОГРАДОВ МЕТОД ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 197 1 517. 1 В 49 УДК 511. 2 Метод тригонометрических сумм в теории чисел. И. М. Виноградов, изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1971. В книге на ряде фундаментальных проблем аналитической теории чисел дано систематическое изложение основ известного метода автора. Эти проблемы подобраны так, чтобы в возможно более простой форме и достаточно полно отразить существо метода и позволить читателю быстро и основательно усвоить этот метод. Книга будет полезна студентам, аспирантам и научным работникам, желающим серьезно заниматься теорией чисел. Библ. — 16 назв. 2-2-3 131-70 Оглавление Стр Обозначения 4 Введение б Глава 1. О числе делителей \8 Глава 2. Тригонометрические ряды и интегралы £3 Глава 3. Рациональные тригонометрические суммы 3^ Глава 4. Суммы Вейля 43 Главл 5. Распределение дробных частей значений многочлена . g2 Глава 6. Асимптотическая формула в проблеме Варинга ... дО Глава 7. Суммы по простым числам К)6 Глава 8. Распределение дробных частей значений многочлена в случае, когда аргумент пробегает простые числа 14? Глава 9. Асимптотическая формула в проблеме Варинга с простыми числами 1б* Литература 15 9 Обозначения Предполагается, что читающий книгу хорошо знаком с текстом моего курса теории чисел и с помещенными там обозначениями. Кроме того, мы будем пользоваться следующими обозначениями: с — положительное постоянное число, 9 — число, модуль которого не превосходит единицы, 8 — произвольное малое положительное постоянное число, меньшее единицы, Р — целое число, превосходящее единицу. При постоянных Л, h\, ... , hh равенство h = h(hu ... , hk) показывает, что значение h полностью определяется значениями hu ... , hh. Если символ А обозначает величину, зависящую от других величин, то этот символ мы иногда будем писать в более подробном виде: А(аи ... , ап), указывая в скобках те из этих величин, которые в рассматриваемом вопросе могут меняться. При положительном В обозначение А -С В показывает, что | А | ^ сВ. Тот же смысл имеет и обозначение А = О(В). (h) — расстояние вещественного числа h до ближайшего целого числа, т. е. наименьшее из чисел {h), 1 — {h}. При вещественных а и Ь обозначение а н= Ъ показывает, что а = b + /, где / — целое число. При этом говорим, что а сравнимо с Ь или что а и Ь сравнимы между собою. 1 /г — целое положительное число, v = — . п Две точки n-мерного пространства назовем сравнимыми между собою, если их соответствующие координаты сравнимы между собою. Целою точкой назовем точку, все координаты которой суть целые числа. При 0 < В — А ^ \ обозначение А < g < В (mod 1) показывает, что g сравнимо с некоторым числом gu удовлетворяющим условию А < g\ < В. Символ 2 обозначает сумму, распространенную на указанные а значения а. М ПН обозначает произведение положительного числа А на сумму не более чем В слагаемых Я указанного вида при условии, что А В — М.