Читать онлайн «Алгебраические поверхности (обзор ВИНИТИ)»

УДК 512. 774 II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ В. А. Псковских, И. Р. Шафаревич СОДЕРЖАН И Е Предисловие 132 § 1. Основные инварианты 134 § 2. Примеры 137 § 3. Кривые на алгебраической поверхности 147 3. 1. Дивизоры 147 3. 2. Алгебраическая эквивалентность 14$> 3. 3. Линейная эквивалентность 151 3. 4. Многообразия Пикара и Альбанезе 154 3. 5. Дивизоры на расслоениях 155 § 4. Индексы пересечения 156 4. 1. Основные свойства 156 4. 2. Формула присоединения 159 § 5. Численная эквивалентность дивизоров 162 5. 1. Теорема Римана — Роха 162 5. 2. Конус эффективных классов кривых 163 § 6. Бнрациоиальные отображения 169- 6. 1. ст-процесс 169- 6. 2. Бирациоиальные преобразования 171 6. 3. Стягиваине 176 § 7. Минимальные модели 180 7. 1. Основная теорема 180 7. 2. Доказательство основной теоремы . 183- 7. 3. Единственность минимальной модели 186 § 8. Бирациональная классификация . 189 8. 1. Основные результаты 189- 8. 2. Обсуждение теоремы 1 192 8. 3. Неравенство Кастельнуово — де Франчиса 193 8. 4. Обсуждение теоремы 2 195 § 9. Поверхности общего типа 19® 9. 1. Модули 198 9. 2. География поверхностей 200 9. 3. Поверхности, близкие к рациональным 203 § 10. Эллиптические поверхности 204 10. 1. Семейства групп 204 10. 2. Вырожденные слои 208 10. 3. Якобиево расслоение 214 10. 4. Классификация 217 10. 5. Применения 21® § 11. Поверхности канонической размерности 0 221 11. 1. Поверхности Энриквеса 221 9* 131 11. 2. Абелевы поверхности 223 11. 3. Бнэллиптические поверхности 226 § 12. Поверхности типа КЗ 228 12. 1. Основные инварианты 228 12. 2. Проективная геометрия 12. 3. Топология ... . 12. 4. Аналитическая геометрия 12. 5. Применения ... . 12. 6. Обобщения ... . § 13. Линейчатые и рациональные поверхности 229 230 231 234 236 236 13. 1. Линейчатые поверхности 236 13. 2. Рациональные поверхности 13. 3. Поверхности дель Пеццо ... . 13. 4. Снова линейчатые поверхности § 14. Комплексные аналитические поверхности 14. 1. Мероморфные функции ... . 14. 2. Когомологии . 14. 3. Поверхности, для которых а(Х)=0 или а(Х)=1 14. 4. Уннформизацня § 15. Эффекты конечной характеристики 15. 1. Нарушение теоремы Бертини 15. 2. Факторы по неприведеиной групповой схеме 15. 3. Неприведенность схемы Пнкара 15. 4. Нарушение соотношений симметрии hp'q=hq-p 15. 5. Отсутствие аналога теорем Лефшеца н Люрота 15. 6. Нарушение теоремы об обращении в нуль 15. 7. Изменения в классификации 240 242 247 248 248 249 251 253 255 255 256 256 257 258 258 259 Литература 260 ПРЕДИСЛОВИЕ Цель этого обзора — показать читателю связную картину теории алгебраических поверхностей, разъяснить постановку ее задач и описать ее основные методы. Если доказательства и приводятся, то лишь для того, чтобы выявить основные идеи, работающие в этой области. С деталями доказательств читатель может познакомиться по литературе, указанной в конце статьи. Теория алгебраических поверхностей справедливо считается одной из красивейших глав алгебраической геометрии. Основы ее были заложены более 100 лет назад А. Клебшем, который ввел важнейший численный инвариант поверхности геометри- геометрический род—аналог рода алгебраической кривой, поставил задачи бирациональной классификации поверхностей и разоб- разобрал ряд основных примеров.