Читать онлайн «Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений»

Летняя школа «Современная математика» Дубна, июль 2002 И. В. Аржанцев Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений мцнмо Москва 2003 УДК 512. 7 + 519. 6 Проведение летней школы «Современная ма- ББК22. 14 + 22. 19 тематика» и издание настоящей брошюры А80 осуществлено при поддержке Московской городской Думы и Московского департамента образования. Аржанцев И. В. А80 Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. — М. : МЦНМО, 2003. — 68 с. ISBN 5-94057-095-Х Читатель знакомится с важным понятием современной алгебры — базисом Грёбнера идеала в кольце многочленов от многих переменных и приложениями этого понятия к решению систем нелинейных алгебраических уравнений, в частности, с эффективным алгоритмом, позволяющим для произвольной системы выяснить конечно или бесконечно число ее решений. В обоснованиях полученных результатов ключевую роль играет теорема Гильберта о нулях. От читателя требуются лишь начальные знания алгебры. Брошюра предназначена для студентов младших курсов. ББК22. 14-Г-22. 19 Иван Владимирович Аржанцев БАЗИСЫ ГРЁБНЕРА И СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Серийное оформление обложки разработал М. Панов Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 119002, Москва, Большой Власьевский пер. , 11. Лицензия ИД № 01335 от 24. 03. 2000 г. Подписано к печати 05. 03. 2003 г Формат 60 х 88/16. Печать офсетная. Объем 4,25 печ. л. Тираж 1000 экз. Заказ № 102т Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Полиграфические ресурсы». ISBN 5-94057-095-Х © Аржанцев И. В. , 2003. ® МЦНМО, 2003. Предисловие Этот курс является расширенным вариантом записок лекций, прочитанных студентам пятого курса математического факультета Московского Педагогического Государственного Университета осенью 1998 г. и вышедших отдельными брошюрами в издательствах «Диалог-МГУ» (1999 г. ) и «МАКС Пресс» (2002 г. ). Излагаемый материал также послужил основой для четырех занятий, проведенных автором в рамках летней школы для старших школьников и студентов младших курсов «Современная математика» (Дубна, 16—28 июля 2002 г. ). Для освоения курса достаточно иметь самые начальные знания по алгебре. Предполагается, что читатель знаком с понятиями кольца, поля и владеет теорией систем линейных уравнений. Даже излагаемые на втором курсе сведения об идеалах колец здесь в основном напоминаются. Теорема Абеля о неразрешимости в радикалах алгебраических уравнений степени пять и выше на первый взгляд лишает нас всякого оптимизма относительно возможности решения произвольного уравнения или системы уравнений. Однако рассматриваемые здесь результаты, объединенные с численными методами решения уравнений, позволяют эффективно решать многие системы алгебраических уравнений. У этого курса две цели. Первая — продемонстрировать, что такие абстрактные теоремы, как теорема Гильберта о базисе или теорема Гильберта о нулях, имеют простую и весьма полезную интерпретацию в теории систем алгебраических уравнений. В случае теоремы Гильберта о нулях существенно, чтобы система рассматривалась не над вещественными, а над комплексными числами.