А. В. ПОГОРЕЛОВ
НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ПО ГЕОМЕТРИИ В ЦЕЛОМ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ХАРЬКОВСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА им. А. М. ГОРЬКОГО
Харьков 1961
Работа содержит исследование ряда вопросов
геометрии «в целом». В частности рассмотрены:
проблема регулярности выпуклой поверхности с
регулярной метрикой в пространствах постоянной
кривизны, изометрическое погружение в целом
двумерного риманова многообразия в
трехмерное, изометрические преобразования
пунктированных поверхностей в эвклидовом пространстве,
жесткость неодносвязных поверхностей в рима-
новом пространстве. Книга рассчитана у на студентов, аспирантов
и научных работников в области геометрии. Ответственный редактор #. П. Бланк. ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа посвящена исследованию ряда
вопросов геометрии «в целом». Некоторые ш них
рассматривались в предыдущих публикациях автора и здесь
получают дальнейшее продвижение или окончательное
решение. Другие вопросы рассматриваются влервые. Первый .
параграф работы содержит исследование
регулярности выпуклой поверхности с регулярной
метрикой в пространстве Лобачевского. Для случая эвклидова
и эллиптического пространства такое исследование
проведено в работах автора fll] и [2]. В заметке [3] решение
вопроса было намечено для любого пространства
постоянной кривизны. Однако это решение для случая
пространства Лобачевского нельзя считать
удовлетворительным, так как оно относится только к поверхностям
положительной гауссовой кривизны. В настоящей работе
вопрос о регулярности выпуклой поверхности с
регулярной метрикой в пространстве Лобачевского получил та*
кое же естественное решение, как для эвклидова и эллип-4
тического пространств. Теперь мы можем
формулировать теорему для случая любого пространства
постоянной кривизны в следующей естественной форме:
Если выпуклая поверхность в пространстве
постоянной кривизны имеет регулярную метрику и гауссова
кривизна ее всюду больше кривизны пространства, то
поверхность регулярна. Именно, если метрика поверхности
к раз дифференцируема (к> 5), то поверхность
дифференцируема по крайней мере к — 1 раз. Если метрика
поверхности аналитическая, то поверхность
аналитическая. Во втором параграфе работы рассматривается вопрос
об оценках нормальных кривизн замкнутой, гомеоморф-
ной сфере поверхности с положительной внешней кривиз-
3
ной в трехмерном римановом лространстве. ^Полу^ение
этих оценок является одним из основных этапов в
решении проблемы изометрического погружения в целом>
двумерного риманова многообразия © трехмерное. Вопрос
об оценках нормальных кривизн замкнутой ловерхности
в римановом пространстве рассматривался автором в
работе [1], где такие оценки и получены для любого рима-
нова пространства, однако при условии, что гауссова
кривизна поверхности больше некоторой постоянной &*,
зависящей от кривизны пространства. В настоящей работе
вопрос об оценках нормальных кривизн замкнутой по^
верхности в римановом лространстве неположительной
кривизны получил решение при естественном условии
положительности внешней кривизны.