СБОРНИК ЗАДАЧ
ВСЕРОССИЙСКИХ СТУДЕНЧЕСКИХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД
(Методическое пособие)
Ижевск 1994
УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ! УНИВЕРСИТЕТ
Медников Я. Э. , Мерзляков А. С. , Романов Я. И. , Яшин А. Д. СБОРНИК ЗАДАЧ ВСЕРОССИЙСКИХ СТУДЕНЧЕСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛЖПИАД
(Методическое пособие)
ИЖЕВСК 1994
УДК 510 (079 1)
Μ 424
МЕДНИКОВ Л. Э. . МЕРЗЛЯКОВ А. С. . РОМАНОВ Я. И. , ЯНИН А. Д. Сборник задач
Всероссийских студенческих математических олимпиад (1986-1990гг. )
Методическое пособие. Ижевск: Иэд-во Удм. ун-та,1994. Эбс. Методическое пособие рекомендуется студентам и преподавателям
вузов. Многие задачи понятны и школьникам старших классов, серьезно
занимающимся математическими исследованиями. Несомненно представляет
интерес для руководителей семинаров по решению нестандартных задач. С/Издательство Удмуртского
университета
ПРЕДИСЛОВИЕ
В 1966*1090 гг.
на базе математического факультета Удмуртского
государственного университета проводило* Всероссийский тур Всесоюзной
математической олимпиады Студент и научно-технический прогресс В
олимпиаде участвовали студенты университетов РСФСР, обучающиеся но
специальности математика . Такой выбор участников обусловил
определенный уровень и направленность заданий, предложенных для
решения: задачи соответствовали усредненной университетской программе
(по РСФСР) и имели теоретический характер. Учитывая общепринятую традицию - не забывать научны· результаты
олимпад С а научным результатом олимпиады можно считать как удачную
задачу, так и ее оригинальное решение), - было принято решение
подготовить сборник задач Всероссийской студенческой оликлиады с 1986
по 1990 гг. Авторы благодарят всех, кто принял активное участие в подборе и
составлении задач олимпиады и кто оказал помочь в составлении
настоящего сборника. Особо хоггепосъ бы отметить доцента кафедры математического
анализа [Инейберга И Я. ] и доцента кафедры алгебры и топологу и
Воронецкого А. Б. , которые не только предложили ряд задач, но и,
внимательно изучив рукопись настоящей работы, внесли немало полезны*
советов по изменению решений задач. Авторы надеются, что предлагаемый сборник будет полезен всем, для
кого математика является предметом активного интереса. СОДЕРЖАНИЕ
стр.
1. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 5
г. РЕШМЯ ЗАДАЧ 17
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
19ΘΘ г
1 курс
1. Доказать, что последовательность if (яюф) периодична, и
найти наименьший период, ρ * простое число.
2. Для каждого а>0 найти число решений уравнении а* ■ ϊ.
3. Найти число вещественных корней многочлена
Р(х) -1 ♦&■♦£♦··· *&
4. Найти на плоскости геометрическое место точек, из которых
можно провести к данному эллипсу две касательные одинаковой длины
5. Могут ли две различные непрерывные функции f ,g: R —♦ ·? совпадать на множестве рациональных чисел. Ζ курс
1. Построить пример уравнения Вернулли, обладающего свойстьом:
всякое нетривиальное решение этого уравнения имеет конечный
интервал существования.
2. Найти все функции #>(х), для которых н&йдетсд такая функция
f(x), что последовательность, fn
s f^'Cx) равномерно сходится к
f