Читать онлайн «Дифференциальные уравнения. Выпуск 6»

А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова. Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение многих лет на физическом факультете Московского государственного университета. Изложение отвечает современному состоянию теории дифференциальных уравнений в той мере, как это требуется специалистам по физике и математике. Большое внимание уделено численным и асимптотическим методам решения. Воспроизводится со 2-го изд. (1985 г. ). Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика». ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к третьему изданию 5 Предисловие ко второму изданию 5 Предисловие к первому изданию 6 Глава 1. Введение 7 § 1. Понятие дифференциального уравнения 7 § 2. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 12 Глава 2. Общая теория 23 § 1. Элементарные методы интегрирования 23 § 2. Теоремы существования и единственности решения начальной задачи 31 для одного уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Алгоритм ломаных Эйлера § 3 Уравнение, неразрешенное относительно производной 39 § 4. Теорема существования и единственности решения нормальной 46 системы § 5. Зависимость решений от начальных значений и параметров 51 § 6. Метод последовательных приближений (метод Пикара) 59 § 7. Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке 63 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения 67 § 1. Уравнения движения маятника как пример линейного уравнения. 67 Основные свойства линейного уравнения с постоянными коэффициентами § 2. Общие свойства линейного уравнения n-го порядка 73 § 3. Однородное линейное уравнение n-го порядка 76 § 4. Неоднородное линейное уравнение n-го порядка 79 § 5. Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами 82 § 6. Системы линейных уравнений. Общая теория 88 § 7. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными 96 коэффициентами § 8. Построение решения линейного уравнения в виде степенного ряда 101 Глава 4. Краевые задачи 105 § 1. Постановка краевых задач и их физическое содержание 105 § 2. Неоднородная краевая задача 110 § 3. Задачи на собственные значения 123 Глава 5.