Читать онлайн «О группах периода 60 с заданными порядками элементов»

Алгебра, и логика,, 39, N 3 (2000), 329-346 УДК 512. 542 О ГРУППАХ ПЕРИОДА 60 С З А Д А Н Н Ы М И П О Р Я Д К А М И ЭЛЕМЕНТОВ*) В-Д. МАЗУРОВ К 60-летию Ю. JI. Ершова Для периодической группы G обозначим через u>(G) множество по­ рядков элементов группы (У. Очевидно, что группа G, для которой u(G) = = {1,2}, является элементарной абелевой. Ф. Леви и Б. Л. Ван-дер-Варден [1] показали, что группа G нилыютентна и ее ступень нильпотентности не превосходит 3, если u>(G) = {1,3}. Б. Х. Нойман [2] описал группы, удо­ влетворяющие условию u)(G) = {1,2,3}. И. Н. Санов [3] и М. Холл [4] уста­ новили локальную конечность групп G, для которых u)(G) С {1,2,3,4} и, соответственно, u(G) С {1,2,3,6}. М. Ф. Ньюмэн [5] определил строение группы G, если u(G) = {1,2,5}. Из [6] следует, что произвольная группа G, для которой LJ(G) = {1,2,3,5}, изоморфна знакопеременной группе А5. Н. Д. Гупта и автор [7] доказали, что в случае, когда u(G) является соб­ ственным подмножеством множества {1,2,3,4,5}, группа G либо локально конечна, либо содержит нильпотентную нормальную силовскую подгруп­ пу S такую, что G/S является 5-группой. Цель настоящей работы — показать, что любая группа G, для ко­ торой u)(G) = {1,2,3,4,5}, является локально конечной. Более точно, мы доказываем следующий результат. *' Статья была написана во время поездки автора в Университет Манитобы (Кана­ да). Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект N 99-01-00550. © Сибирский фонд алгебры и логики, 2000 330 В. Д. Мазуров Т Е О Р Е М А . Пусть G — группа} для которой OJ(G) = {1,2,3,4,5}. Тогда верно одно из утверждений (i)G~A6; (ii) G = VCf где V — нетривиальная элементарная абелева нор­ мальная 2-подгруппа группы G} а С ~ А$. Для конечных групп этот результат является несложным следствием классификации конечных простых групп с нильпотентными централиза­ торами нетривиальных элементов, которую получил М. Сузуки [8, 9]. Обозначения ЕСЛИ Н — подгруппа группы G, i , i / 6 G, 1 , У - подмножества в Y G, то ху = у~1ху, уХ у = {у~1ху | х G -X"}, [я, у] = х~гху, ху = {ху \ у е У}, x = {х \ х е х,у е У}, NH(X) = {Й е Я | Р = I}, (X) — подгруппа, порожденная подмножеством JT, [X, У] = ([ж, у]\х £ Х} У € У]), С я Р О = {Л € Я | [Л, ж] = 1 для всех х G X } , Z{G) = C G (G). Для простого числа р подгруппа O p (G) определяется как произведение всех нормальных р-подгрупп группы С?, Ат и 5 т означают знакопеременную и соответственно симметрическую группу степени га. Предварительные результаты Группа автоморфизмов некоторой группы называется регулярной, если каждый ее нетривиальный элемент не имеет нетривиальных непо­ движных точек. Отметим следующий хорошо известный результат.