Читать онлайн «Элементарное введение в теорию степени. Приложения»

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР Новосибирский государственный университет имени Ленинского комсомола Кафедра математического анализа Методические указания по курсу "Элементарное введение в теорию степени19 1У. Приложения к задачам анализа и топологии Новосибирск 1982 Составитель: В. В. Иванов 1У часть § 10. Простейшие применения топологической степени. Ю#1. Неподвижные точки, 10. 2. Ре^акты и граница, Ю. З. Векторные поля на сфере. 10. 4. Коэрцитивные отображения. Ю. 5. Дополнение к теореме об обратном отображении, 10. 6. Основная теорема алгебры. Ю. 7. Движения на квадрате. Ю. 8. Теорема Руше. § II. Степень отображений симметричных множеств. II. I. Аппроксимация нечетных отображений. 11. 2. Блоки и их расширения. 11. 3. Построение аппроксимации. 11. 4. Теорема Борсука. 11. 5. Отображения в пространства меньшей размерности. 61. б. Покрытия границ симметричных множеств. 11. 7. Задача о сэндвиче. § 12. Гомеоморфизмы в конечномерных пространствах. 12. I. Степень суперпозиции. 12. 2. Теорема Жордана. 12. 3. Инвариантность области. 12. 4. Линейная размерность и локальная гомеоморфность. 12. 5. Гомеоморфные образы сфер. § 10. Простейшие применения топологической степени. Здесь мы рассмотрим ряд примеров, показывающих, как используется топологическая степень. Таким назначением дан- данного параграфа оправдывается рассмотрение в нем нескольких никак не связанных (по крайней мере, внешне) вопросов. Объе- Объединяются они лишь методом исследования♦ * Следует подчеркнуть, что здесь нам потребуются лишь простейшие свойства степени, связанные с инвариантностью ее относительно допустимых преобразований (кроме, разумеется, того обстоятельства, что степень нулевая на неразрешимых уравнениях и ненулевая - на разрешимых аффинных уравнениях). Этим объясняется название параграфа. 10. 1. Неподвижные точки. Одной из самых популярных теорем нелинейного анализа, несомненно, является теорема Брауэра о неподвижной точке. Теорема Брауэра, Пусть К. - компактное выпуклое мно- множество в (R w с непустой внутренностью, а if\ К. ^ . 1R - непрерывное отображение, для кото- которого •$• ^У К *^\ с: J< . Тогда f > имеет неподвиж- неподвижную точку в К , т. е. существует такой элемент ъ € К t что $(*. ) = х . Доказательство« По теореме о выпуклых компактах (см. л. 4,3) можно указать гомеоморфизм v* ; $>ч _. на^-у. $?^ f для которого ^C^l-bn vj C^"K"]s=. S , где & - единичный шар в tfc^ja £> г ^ СЬ . Полагая ci-s. (л,|о^)^ ,,мы получим непрерывное отобрешение 4 \ (!> -9 (R^ ♦ ггричем • g £, S7 <: 6 . Если мы пока- покажем, что j (ч\ « м для некоторой точки ч $ ft , то, полагая зс-. = f1^)» ^УД^1 иметь ^^^^х. Итак, далее можно считать, что К * 6 , Предполо- Предположим, что -$■("*) & X для всех Ot б S - иначе нечего доказывать. Рассмотрим гомотопию Если бы оказалось, что i £ С *, О и шениям Но тогда "t =• о и, следовательно, •$ С*) * а о для каких-нибудь то мы пришли бы к соотно- соотночто исклю- исключено. Таким образом, р - допустимая гомотопия мевду и CU,*,"U) , так что cl eg f/°i Ь) ^ ^ , т. е.