Читать онлайн «Эементы нелинейной динамики: от порядка к хаосу»

В. В. Васин Л. Б. Ряшко ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛ НЕЖНОЙ Δ НАМ К : Τ ПОРЯДКА К ХАОСУ В. В. Васин, Л. Б. Ряшко ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ: ОТ ПОРЯДКА К ХАОСУ Рекомендовано Учебно-методическим советом по математике и механике УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов физико-математических и технических специальностей Москва ♦ Ижевск 2006 УДК 517. 938 ББК В161. 618 В195 Рецензенты: кафедра прикладной математики Уральского государственного технического университета зав. кафедрой докт. физ. - мат. наук, проф. А. Н. Сесекин; докт. физ. -мат. наук, проф. А. Л. Агеев В195 Васин В. В. , Ряшко Л. Б. Элементы нелинейной динамики: от порядка к хаосу. — М. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. — 164 с. В пособии излагаются элементы теории хаотического поведения (детерминированного хаоса) простейших дискретных и непрерывных динамических систем и обсуждаются основные понятия фрактальной геометрии. Дискретные динамические системы 14 §1. Простая модель — сложная динамика 14 §2. Анализ одномерной системы 17 2. 1. Основные понятия. (17). 2. 2. Отыскание точек покоя и циклов. (19). 2. 3. Устойчивость инвариантных подмножеств. (19). Упражнения (23). § 3. Модели динамики популяции 24 3. 1. Линейная модель. (24). 3. 2. Нелинейная модель. (27). Упражнения (28). §4. Поведение нелинейной системы xt+i — μ#*(1 — xt) · 29 4. 1. Случай 0<μ<1. (29). 4. 2. Случай 1<μ^3. (30). 4. 3. Случай μ>3. Бифуркация рождения цикла (30). 4. 4. Каскады бифуркаций, удвоение периода и переход к хаосу (32). Упражнения (37). § 5. Хаотическое поведение системы 38 5. 1. Поведение критических значений параметра. (38). 5. 2. Показатель Ляпунова. (41). Упражнения (43). § 6. Универсальность в поведении систем 43 6. 1. Определение константы а. (43). 6. 2. Универсальность констант. (44). 6. 3. Класс функций, порождающий бифуркацию удвоения. (47). Упражнения (49). § 7. Уравнение удвоения 50 § 8. Численное нахождение универсальной константы ар 55 §9. Численное нахождение универсальной константы δρ 58 9. 1. Общий метод. (58). 9. 2. Прямой алгоритм. (60). Упражнения (62). 4 Оглавление Глава 2. Элементы фрактальной геометрии . . 64 § 10. Комплексные динамические системы 64 10. 1. Множества Жюлиа, Фату и Мандельброта. (64). 10. 2. Классификация множеств Жюлиа. (69). 10. 3. N-фуркации системы. (76). Упражнения (78). §11. Отображение подобия и самоподобие множеств ... 79 § 12. Топологическая и фрактальная размерности ... . 82 Упражнения (84). § 13. Галерея классических фракталов 85 13. 1. Канторово множество. (85). 13. 2. Кривая Кох (85). 13. 3. Фрактал Мандельброта-Гивена (86). 13. 4. Решето Серпинского (клиновидная кривая) (86). 13. 5. Ковер Серпинского (двумерное множество). (87). 13. 6. Фрактал Давида (двумерное множество). (88). 13. 7. Пятиугольник Дюрера (двумерное множество) (88). 13. 8. Губка Серпинского (трехмерное множество) (89). 13. 9.