Читать онлайн «Элементы арифметики»

В. Н. Чубариков ЭЛЕМЕНТЫ АРИФМЕТИКИ Москва 2007 УДК 511 Чубариков В. Н. Элементы арифметики. — М. : Изд-во механико-математического ф-та МГУ, 2007. - 96 с. Книга является элементарным введением в современные проблемы высшей арифметики. Она возникла из лекций, прочитанных автором школьникам и студентам младших курсов в МГУ им. М. В. Ломоновова и специализированной физико-математической школе-интернате № 18 при МГУ, начиная с 1976 г. Добавлены некоторые неэлементарные понятия и факты, которые могут способствовать более глубокому пониманию рассматриваемых вопросов. Для всех интересующихся математикой, включая математиков-профессионалов, преподавателей и учащихся старших классов. УДК 511 © В. Н. Чубариков, 2007 Предисловие Настоящая книга посвящена, в основном, изучению свойств натуральных чисел 1,2,3, ... , что составляет предмет арифметики. Свойство делимости одного числа на другое является сердцевиной арифметики. Задачи, связанные с делимостью, выделяют в отдельный предмет — мультипликативную теорию чисел. Первые три главы этой книги посвящены изучению основных свойств простых чисел, которые играют в ней ключевую роль. С понятием делимости тесным образом связана теория сравнений по модулю натурального числа. Этой теории и ее приложению к криптографии посвящена четвертая глава. Со школьных лет мы привыкли к решению алгебраических уравнений. Теорию сравнений также нельзя осмыслить без изучения многочленов. Поэтому отдельная пятая глава описывает основные свойства многочленов. Числовой континуум, отождествляемый с числовой прямой, не исчерпывается только корнями многочленов с целыми коэффициентами, поэтому возникает необходимость рассматривать трансцендентные числа. Последняя глава посвящена современной теореме Апери об иррациональности значения дзета-функции Римана в точке 3. В заключение отметим, что эта книга написана на основе лекций, прочитанных автором школьникам и студентам младших курсов в МГУ им. М. В. Ломоновова и специализированной физико- математической школе-интернате № 18 при МГУ, начиная с 1976 г. Необходимо подчеркнуть, что при написании книги были добавлены некоторые неэлементарные понятия и факты, которые, по нашему мнению, могут способствовать более глубокому пониманию рассматриваемых вопросов. Автор благодарит своего ученика Александра Владимировича Бегунца за большую помощь при подготовке этой книги к печати. Автор Глава I ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ На множестве натуральных чисел 1,2,3, ... задаются известные арифметические операции: сложение {+}, умножение {х}, а также вычитание {—} и деление {:}. Последние две операции могут быть выполнены во множестве натуральных чисел, если их результатом являются натуральные числа. Кроме того, любые два числа можно сравнить между собой по величине, т. е. установить одно из отношений меньше, равно, больше {<, =, >}. Можно расширить совокупность натуральных чисел до множества целых чисел Z: добавить 0 и отрицательные целые числа —1, —2, —3, — Тогда множество целых чисел будет замкнуто еще и относительно операции вычитания, т. е.