Читать онлайн «Об основных понятиях теории меры»

Математический |1 сборник 1949 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК Т. 25 F7), N. I Об основных понятиях теории меры В* А. Рохлин (Москва) Предлагаемая работа посвящена аксиоматическому описанию обыч- обычной меры Лебега или Лебега — Стильтьеса в терминах абстрактной теории меры и изучению возникающего таким образом «пространства Лебега», его ^гомоморфизмов», «измеримых разбиений» и «фактор- пространств». Работа состоит из четырех параграфов. § 1 содержит общие опре- определения и обозначения, применяемые на протяжении всей работы. Определения эти большей частью не новы и приложимы не только к пространствам Лебега, но и к произвольным пространствам с мерой. § 2 посвящен определению и структурным свойствам пространств Ле- Лебега. В § 3 излагается главным образом общая теория измеримых разбиений, гомоморфизмов и фактор-пространств пространств Лебега. Наконец, в § 4 дана классификация измеримых разбиений и гомомор- гомоморфизмов. Основные определения и теоремы первых трех параграфов, в част- частности, аксиоматика пространства Лебега и теорема существования канонической системы мер, взяты из моей неопубликованной работы «Унитарные кольца и динамические системы», доложенной Кон- Конференции по динамическим системам (Московский университет, июнь 1940 г. ). По поводу изложенного в п° п° 1, 2 и 4 § 2 замечу, что в 1942 г. Халмош и Дж. Нейман (P. R. Halmos and J. v. Neumann, [1]) опубликовали другую аксиоматику единичного отрезка с точки зрения абстрактной теории меры; их аксиомы счетности совпадают с теми, которые приняты в п° 1 § 2, но место аксиомы полноты зани- занимает другая аксиома. Теорема об изоморфизмах (п° 5 § 2) принадле- принадлежит Дж. Нейману [2], и ее доказательство, приведенное в тексте, есть упрощенное'доказательство Неймана; однако данная в тексте формулировка этой теоремы сильнее формулировки Неймана, которая недостаточна для целей настоящей работы (усиление состоит в том, что образ UM пространства М не предполагается заранее простран- пространством Лебега). Идеей канонической системы мер (п° 1 § 3) я обязан А. Н. Колмогорову, который высказал мне ее в 1940 г. Другие пред- предложения, близкие к теореме существования канонической системы мер, были опубликованы в [3] и [4]. * Основные результаты этой работы были опубликованы в ДАН [6J. * П р и м е ч а н и е при корректуре. Как мне стало известно из [9], ука- указанные результаты работ [?>] и [4] неверны. 108 В. А. Рохлин § 1. Общие меры п° 1. Пространство с мерой. Подпространства. Как известно, вещественная функция {*, определенная на некоторой совокупности Qpt подмножеств какого-либо множества М, называется вполне ад- аддитивной, если ?}ц есть борелевское тело множеств; это значит что вместе с каж- каждыми двумя множествами Q^ содержит их разность и вместе с каж- каждой последовательностью множеств — их сумму (и, следовательно, их пересечение); для всякой последовательности попарно не пересекающихся мно- множеств Ап^О. ^ Под мерой в этой работе понимается неотрицательная вполне аддитивная функция р, обладающая следующими двумя свойствами: если Ас В и у. В = 0, то ЛбО^ (и, следовательно, ^Л = 0); При этом основное множество М называется пространством с мерой р. , а его элементы — точками.