Читать онлайн «Вступительные экзамены МГУ. Алгебра»

А. В. Разгулин, М. В. Федотов ПОДГОТОВКА К ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ЭКЗАМЕНАМ В МГУ АЛГЕБРА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ Москва 2000 Настоящее пособие составлено для подготовительных курсов факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова на основе задач письменных вступительных экзаменов по математике в МГУ за 1977-1999 годы. Может быть полезно абитуриентам при подготовке к поступлению как на факультет ВМиК, так и на другие факультеты МГУ. СОДЕРЖАНИЕ §1. Стандартные тригонометрические уравнения 6 §2. Простейшие уравнения и неравенства с модулями, дробями и 11 радикалами §3. Стандартные текстовые задачи 18 §4. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными 29 функциями §5. Тригонометрия - 2 39 §6. Задачи с радикалами. 43 §7. Разложение на множители и расщепление 48 §8. Раскрытие модулей в смешанных уравнениях и неравенствах 58 §9. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические 65 неравенства §10. Эквивалентные преобразования в смешанных уравнениях и 70 неравенствах §11. Нестандартные текстовые задачи 78 §12. Расположение параболы в зависимости от параметра. Теорема Виета 88 §13. Полезные преобразования и замены переменных 95 §14. Использование графических иллюстраций 107 §15. Использование различных свойств функций 112 § 16. Метод оценок 117 §17. Получение следствий и логические задачи 124 § 18. Задачи с целыми числами 138 §19. Задачи последних лет, не вошедшие в §§1-18 146 Ответы 160 Настоящее пособие составлено для подготовительных курсов факуль- факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоно- М. В. Ломоносова на основе задач письменных вступительных экзаменов по матема- математике в МГУ за 1977-1999 годы. При составлении пособия авторы придер- придерживались идеи циклического расположения задач: сначала идут прос- простые стандартные задачи по всем разделам алгебры, затем более слож- сложные стандартные задачи по тем же разделам. И, наконец, параграфы с нестандартными задачами составлены так, что в них есть задачи на повторение всех изученных ранее методов и формул. Идея такого рас- расположения материала принадлежит Сергееву И. Н. После номера каждой задачи в скобках идет ссылка - где была дан- данная задача. Сначала идет сокращенное название факультета, затем - год, в котором была задача (если после года в скобках идет цифра 1 или 2 - это значит, что эта задача была на весенней олимпиаде факульте- факультета; на мехмате и физфаке весной проходят две олимпиады; на ВМиК, геологическом, химическом, географическом факультетах и факультете почвоведения - одна олимпиада весной). После точки идет номер задачи в варианте (обычно, чем больше номер, тем сложнее задача в данном варианте). Например, (ВМиК-98. 3) - означает, что задача была в 1998 году летом на вступительных экзаменах на факультете ВМиК, треть- третьим номером в варианте, а (м/м-97B). 1) - означает, что задача была в 1997 году на второй весенней олимпиаде механико- математического факультета первым номером в варианте.