Читать онлайн «Векторные пространства»

Д. А. РАЙКОВ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1S62 АННОТАЦИЯ Эта монография не только излагает общую теорию векторных пространств и необходимые для ее понимания разделы математики, недостаточно освещенные в университетском курсе (упорядоченные множества и др. ), но и является алгебраическим введением в изучение топологических линейных пространств. С этой целью особое внимание уделяется таким вопросам, как дуальные пары векторных пространств, выпуклые множества, продолжение линейных функций и др. Книга представит интерес для специалистов в разных областях математики и написана так, что будет доступна студентам- математикам. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Глава [. . Предварительные сведения об упорядоченных множествах и о группах 7 § 1. Об упорядоченных множествах 7 1. Понятие упорядоченного множества 7 . 2. Совершенно упорядоченные множества 10 3. Вполне упорядоченные множества. Принцип выбора 12 4. Принцип максимального элемента 13 § 2. О группах 18 1. Понятие группы 18 2. Коммутативные группы 23 3. Факторгруппы коммутативной группы 26 4. Суммы и произведения коммутативных групп . . 28 5. Понятие поля 31 Глава II. Общая теория векторных пространств 32 § 3. Основные понятия 32 1. Понятие векторного пространства 32 2. Подпространства 38 3. Аффинные многообразия 40 4. Факторпространства. Дополнительные подпространства. Произведение и сумма семейства векторных пространств 44 5. Линейная зависимость и независимость 48 6. Понятие базиса 53 7. Конечномерные векторные пространства ... . 55 8. Базисы и размерность произвольных векторных пространств 60 § 4. Линейные отображения 62 1. Понятие линейного отображения 62 2. Разложения линейных отображений 66 3. Действия над линейными отображениями ... . 69 4. Проекторы 70 § 5. Линейные функции 73 1. Понятие линейной функции 73 2. Векторное сопряженное к конечномерному векторному пространству 77 3. Линейные функции и гиперподпространства ... 78 4. Системы линейных уравнений 80 I* 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 6. Дуальные пары векторных пространств 85 1. Понятие дуальной пары 85 2. Аннуляторы 90 3. Биортогональные системы 94 § 7. Выпуклые множества 97 1. Понятие выпуклого множества 97 2. Абсолютно выпуклые множества 102 3. Выпуклая оболочка 104 4. Конусы 107 5. Окруженные точки 109 6. Функционал Минковского 113 7. Преднормы и нормы . 118 §8. Продолжение линейных функций 121 1. Сублинейные функции . 121 2. Теоремы продолжения (алгебраическое изложение) 123 3. Теоремы продолжения (геометрическое изложение) 126 Глава 111. /. -пространства 133 § 9. Основные понятия . . 133 1. Понятие ^-пространства 133 2. ^-отображения . . . • 136 3. Конечномерные /^-отображения 139 4. ^-структуры, определяемые линейными отображениями 141 5. Замкнутые подпространства ^-пространства . . . 144 6. ^-подпространства 146 7. Гомоморфизмы L-пространств 147 8. Факторпространства ^-пространства 151 9. Произведения и суммы /. -пространств ... ... 153 10. Разложение ^-пространства в прямую сумму его ^-подпространств 158 § 10.