Читать онлайн «Теоремы существования»

АКАДЕМИЯ НАУК СССР Серия «Проблемы современной науки и научно-технического прогресса» Л. С. ФРЕЙМАН ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» МОСКВА 1971 Теоремы существования рассматривают условия, при соблюдении которых существует тот или иной математический объект — производная, неопределенный интеграл, определенный интеграл или решение уравнения и т< п. Что касается дифференциальных уравнений, то одновременно с условиями существования решения рассматриваются и условия, гарантирующие единственность найденного решения. Автор рассматривает лишь важнейшие теоремы существования, причем изложение ведется в возможно более доступной форме с тем расчетом, чтобы книга могла служить вспомогательным пособием для студентов технических институтов. Работа будет полезна и молодым преподавателям тех же институтов, а также широкому кругу лиц, интересующихся проблемами высшей математики. Scan AAW 2-2-3 31-70 НПЛ ОТ АВТОРА Жизнь идет вперед, техника усложняется, инженеру все чаще приходится прибегать к математике. И странная вещь: то, что в годы учения было понятным, теперь, при попытках самостоятельного применения, оказывается неясным. Надо вычислить интеграл — и, как на зло, от такой функции, подобную которой никогда не приходилось даже видеть. Есть ли у нее интеграл? Надо про_ интегрировать дифференциальное уравнение и вот возникает вопрос, сколько решений имеет уравнение? А решается ли вообще это уравнение? Таких и подобных им вопросов возникает множество. Все они относятся к области, которую за недостатком времени в технических институтах почти не рассматривают. Эта область — теоремы существования, которые устанавливают, при каких условиях существуют решения различных математических задач. Предлагаемая читателю книга и посвящена подобным вопросам. В ней разобрано много примеров, которые иллюстрируют случаи, почти не затрагиваемые в общих курсах математики, где ограничиваются, например, утверждением, что такая-то функция непрерывна, а следовательно, ее можно дифференцировать; такая-то функция разрывна, а следовательно, ее нельзя интегрировать. О возможных в этих случаях осложнениях почти не упоминают. В книге приведены функции непрерывные и нигде не дифференцируемые; разрывные, но имеющие интеграл. Есть, конечно, и другие примеры. Приведены некоторые сведения из таких отделов математики, кото- 3 рые необходимы при основательных исследованиях теорем существования, но которые в обычных курсах математики не изучаются. В конце книги указана литература, не претендующая, впрочем, на полноту. Читатель, который захотел бы углубить свои познания в области проблем существования, может почерпнуть из нее дополнительный материал. Имеющихся на русском языке книг по этому вопросу вполне достаточно. Книга, популярно излагающая вопросы существования, автору неизвестна, поэтому он не мог опереться на чей-либо опыт и будет благодарен за критику по существу содержания книги. ГЛАВА ПЕРВАЯ СУЩЕСТВОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 1. 0.