Читать онлайн «Геометрия»

В. В. Прасолов В. М. Тихомиров ГЕОМЕТРИЯ Издание второе, исправленное Москва Издательство МЦНМО 2007 УДК 514 ББК 22. 151 П70 Прасолов В. В. , Тихомиров В. М. П70 Геометрия. —М. : МЦНМО, 2007. —2-е изд. , перераб. и доп. —328 с: ил. ISBN 978-5-94057-267-1 В книге дается систематическое изложение различных геометрий — евклидовой, аффинной, проективной, эллиптической, гиперболической, бесконечномерной. Проблемы различных геометрий рассматриваются с единой точки зрения, и всюду прослеживаются единые корни различных явлений. Все геометрические объекты исследуются с позиций двойственности. Подробно изложена теория коник и квадрик, в том числе и теория коник для неевклидовых геометрий. В книге изложено много ярких геометрических фактов, решено множество красивых геометрических задач. Многочисленные рисунки помогают яснее представить себе излагаемые геометрические теоремы. В конце глав приводятся задачи и упражнения, которые позволяют использовать книгу в качестве учебника. Книга призвана способствовать развитию геометрических исследований и совершенствованию математического образования. Для школьников, студентов, учителей математики. Первое издание книги вышло в 1997 г. ББК 22. 151 Виктор Васильевич Прасолов, Владимир Михайлович Тихомиров Геометрия Подписано в печать 15. 11. 2006. Формат 60x84/16. Печать офсетная. Бумага офсетная № 1. Печ. л. 20,5. Тираж 2000 экз. Заказ № 880. Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 119002, Москва, Большой Власьевский пер. , 11. Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ОАО «Дом печати —ВЯТКА». 610033, г. Киров, ул. Московская, 122. Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга», Большой Власьевский пер. , д. 11. Тел. 241 72 85. В. , Тихомиров В. М. , 2007 ISBN 978-5-94057-267-1 © МЦНМО, 2007. Оглавление Предисловие 6 Введение 10 Глава 1. Бвклидов мир 14 § 1. 1. Евклидовы прямая и плоскость 14 §1. 2. Евклидово n-мерное пространство 31 § 1. 3. Введение в многомерный мир евклидовой геометрии 36 Глава 2. Аффинный мир 49 §2. 1. Аффинная прямая и плоскость 49 § 2. 2. Аффинное пространство. Линейные уравнения и неравенства 61 §2. 3. Введение в конечномерную выпуклую геометрию 63 Глава 3. Проективный мир 68 §3. 1. Проективная прямая и плоскость 68 § 3. 2. Проективное n-мерное пространство 81 Глава 4. Коники и квадрики 86 §4. 1. Плоские кривые второго порядка 86 §4. 2. Некоторые дополнения 97 §4. 3. Некоторые свойства квадрик 102 Глава 5. Мир неевклидовых геометрий 115 §5. 1. Окружность и двумерная сфера 115 §5. 2. Геометрия Лобачевского 124 § 5. 3. Изометрии в трех геометриях 144 Глава 6. Бесконечномерный мир 168 §6. 1. Основные определения 168 § 6. 2. Формулировки теорем 173 § 6. 3. Доказательства теорем 176 §6. 4. Заключительный комментарий 181 Дополнительные главы геометрии 184 §1. Геометрия и физика 184 §2. Многогранники и многоугольники 190 4 Оглавление § 3. Дополнительные вопросы проективной геометрии 200 § 4. Специальные свойства коник и квадрик 221 §5. Дополнительные вопросы неевклидовых геометрий 237 Решения, указания, ответы 270 Предметный указатель 324 Именной указатель 327 Предисловие Однажды Израиль Моисеевич Гельфанд обронил такую фразу: «Математика состоит из трех частей: анализа, геометрии и комбинаторики».