Читать онлайн «Введение в теорию внешних форм»

Н. В. ЕФИМОВ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВНЕШНИХ ФОРМ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1977 617. 3 E 91 УДК 513. 6 АННОТАЦИЯ Книга представляет собой краткое введение в теорию внешних форм. Она состоит из трех глав: 1) Алгебра внешних форм. 2) Внешнее дифференци- дифференцирование. 3) Интегрирование форм по цепям. Автор ограничивается рассмотрением внешних форм и це- цепей в конечномерном евклидовом пространстве. Но на этом материале дается достаточное представление об отношениях сопряженности между пространствами форм и цепей и об основных парах сопряженных опе- операторов. Книжка написана весьма просто и понятно. Выкладки и рассуждения везде проведены без суще- существенных пропусков. Настоящая книга может быть полезной студен- студентам математических специальностей университетов, которые слушают курсы анализа и геометрии. Воз- Возможно также, что его воспользуются механики и физики, заинтересованные в методах тензорного исчисления. 20203— 016 , © Главная редакция Е пко/по\ 77 23-77 физико-математической литературы VO?\yz)-U издательства «Наука», 1977 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 4 Глава!. Краткие сведения из алгебры внешних форм. . . 5 § I. Условия по поводу обозначений. Альтернатор . . 5 § 2. Сопряженные линейные пространства 7 §. 3. Разложение полилинейной формы в сумму произве- произведений линейных форм 11 § 4. Пространство полилинейных форм 12 § 5. Альтернация полилинейных форм 15 § 6. Второе выражение альтернации 17 § 7. Альтернация тензоров 20 § 8. Внешнее произведение внешних форм 20 § 9. -Внешнее произведение базисных форм 22 § 10. Пространство внешних форм данной степени и базис в нем '. 23 § П. Вычисление одночленных форм 25 § 12. Координатное выражение внешней формы 26 § 13. Специальные обозначения 26 § 14. Преобразование внешней формы при переходе к новым координатам 27 Глава II. Внешнее дифференцирование 29 § 1. Касательные пространства 29 § 2. Внешние дифференциальные формы 31 § 3. Внешний дифференциал 34 § 4. Основные свойства внешнего дифференциала ... . 38 § 5. Примеры внешнего дифференцирования 41 § 6. Индуцированное отображение пространства внешних форм 42 Глава III. Интегрирование внешних дифференциальных форм 51 § 1. Интеграл от внешней формы по сингулярному кубу 51 § 2. Понятие цепи. Интеграл от формы по цепи 58 § 3. Граница цепи 64 § 4. Доказательство формулы Стокса для цепи 66 § 5. Оператор проектирования 68 § 6. Теорема Пуанкаре и некоторые другие предложения 76 § 7. Регулярное погружение. Комбинаторная поверхность 78 Списоклитературы 84 Предметный указатель , . . 85 1» ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книжка представляет собой краткое вве- введение в теорию внешних форм. Она состоит из трех глав: 1) алгебра внешних форм, 2) внешнее дифференцирование, 3) интегрирование форм по цепям. Мы ограничиваемся рассмотрением внешних форм и цепей в конечномерном евклидовом' пространстве и цепи берем с коэффициентами из R. Но мы старались на этом материале дать доста- достаточное представление об отношениях сопряженности между пространствами форм и цепей и об основных па- парах сопряженных операторов.