Читать онлайн «Лекции по функциональному анализу»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет ЛЕКЦИИ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ Шестой семестр В. М. ФЁДОРОВ Москва 2004 год УДК 517. 5 Федоров В. М. Лекции по функциональному анализу. Шестой семестр. Учебное пособие. — Издательство механико-математического факультета МГУ, Москва, 2004 г. — 96 стр. Данное учебное пособие содержит курс лекций по функциональному анализу, читаемый в шестом семестре на отделении механики механико- математического факультета МГУ под названием "Функциональный анализи, а также включает список экзаменационных вопросов, контрольные работы и список основных типов задач, предлагавшихся на семинарах и на зачете по этому курсу лекций. В шестом семестре было прочитано 12 лекций (одна лекция в неделю) и состоялось 14 практических занятий (семинаров) в каждой группе. Проведены две контрольные работы. В конце семестра студенты сдавали зачет и экзамен. Семинарами в группах руководили Фёдоров В. М. , Бахвалов А. Н. , Серебряков В. П. и Шейпак И. А. Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект N* 03-01-00080. © Фёдоров В. М. , 2004 г. Оглавление . 1. Лекция 5 Пространства сходимости. Теорема о полноте сопряженного пространства 5 2. Лекция 11 Принцип равномерной сходимости. Локально выпуклые пространства 11 3. Лекция 17 Пространство обобщенных функций и их локальная структура 17 4. Лекция 23 Регулярные и сингулярные обобщенные функции. Пространство Соболева 23 5. Лекция 31 Пространство Шварца. Обобщенные функции медленного роста. . . . •. 31 6. Лекция 37 Теорема Бэра. Принцип равномерной ограниченности 37 7. Лекция 43 Теоремы Банаха о замкнутом графике и об обратном операторе 43 3 8. Лекция 49 Спектр и резольвента ограниченного оператора в банаховом пространстве 49 9. Лекция 55 Компактные множества. Критерий Хаусдорфа. Теорема Арцела 55 10. Лекция 61 Компактные операторы в банаховом пространстве. Теорема Рисса-Шаудера 61 11. Лекция 67 Теорема Гильберта-Шмидта. Эрмитовы операторы в пространствах L2 и £2 67 12. Лекция 73 Интегральные операторы Фредгольма. Задача Штурма-Лиувилля 73 13. Семинары 80 Упражнения и задачи 80 Контрольные работы 92 Программа курса "Функциональный анализ" (шестой семестр) 94 4 1. Лекция Пространства сходимости. Теорема о полноте сопряженного пространства. Вспомним определение метрики и метрического пространства. <Ц Определение. Неотрицательная функция р(х,у), заданная для всех пар элементов (i,t/) Glxl, называется метрикой или расстоянием в множестве X , когда для нее выполняются следующие аксиомы: • тождества: р(х, у) — О тогда и только тогда, когда х = у ; • симметрии: р(х,у) = р(у,х) при всех х,у £ X ; • треугольника: р(х, у) < р(х, г)+р(г/, я) ПРИ всех ^l/»^^^' Множество X , в котором задана метрика, называется метрическим пространством. Последовательность точек {хп} метрического пространства называется сходящейся к точке х , если для любого е > О найдется такое п , что р(х, Xi) < е при всех i > п, т. е. предел limp(x,xn) = 0 равен нулю. Точка х называется пределом последовательности и обозначается через lim Xfi — X .