Читать онлайн «Математические методы динамики вихревых структур»

Оглавление 1 о А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Математические методы дина- динамики вихревых структур 2 Предисловие 2 §1. Динамика точечных вихрей на плоскости 12 § 2. Динамика точечных вихрей на сфере 23 § 3. Задача трех вихрей на плоскости и сфере 31 §4. Другие разрешимые задачи динамики точечных вихрей на М2 и §2. Методы качественного исследования 74 § 5. Классификация и симплектизация вихревой алгебры для плоскости 95 § 6. Задача четырех вихрей на плоскости 105 § 7. Относительные хореографии в задаче трех и четырех вихрей равной интенсивности ПО § 8. Стационарные и статические конфигурации вихрей на плос- плоскости и сфере. Аналогия с задачей п тел 124 § 9. Движение вихрей на плоскости внутри и вне круга 142 § 10. Взаимодействие двух вихрей Кирхгофа в идеальной жидкости 168 §11. Движение периодических цепочек и решеток из точечных вихрей 181 Литература 185 Математические методы динамики вихревых структур А. В. Борисов, И. С. Мамаев1 Предисловие В этом обзоре мы сосредоточимся на основных задачах теории то- точечных вихрей и разберем вопросы, связанные с их взаимодействием друг с другом и с вихревыми пятнами, а также опишем основные проблемы в теории вихревых цепочек и решеток в идеальной вихревой жидкости. Отли- Отличительной особенностью изложения является систематическое развитие ма- математических методов, связанных с проникновением в вихревую динамику основных идей теории пуассоновых структур и алгебр Ли, топологии, би- бифуркационного и качественного анализа. Особое внимание в обзоре уделено проблемам интегрируемости, неинтегрируемости и качественного анализа динамических систем вихревой динамики. Как известно, в интегрируемых случаях динамика системы регулярна и поддается полному описанию с по- помощью топологического и качественного анализа. В вихревой динамике эти методы имеют собственную специфику и мы систематически используем их при анализе различных интегрируемых систем. Кстати, в этом обзоре мы старались собрать наиболее по возможности известные на настоящий момент интегрируемые проблемы вихревой динамики (точнее динамики то- точечных вихрей и родственных им систем, связанных с взаимодействием с твердыми телами, вихревыми пятнами и пр. ). В неинтегрируемом случае динамика системы является, как правило, хаотической, а движение вихрей 'Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск. Анализ общей ситуации такого динами- динамического поведения составляет основу современной теории динамических систем и теории детерминированного хаоса. В неинтегрируемом случае од- одно из основных мест занимает компьютерный анализ, который позволил с помощью дополнительных аналитических соображений получить новые результаты относительно периодических орбит и их бифуркаций, имеющих любопытную форму хореографий (при которых вихри последовательно дви- движутся по одной кривой с постоянным сдвигом по времени). Эти хореогра- хореографии, как оказывается, определяют во многом структуру портрета и сцена- сценарии перехода системы от регулярного к хаотическому движению.