Читать онлайн «Разрешимые и нильпотентные линейные группы»

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА Д. А. СУПРУНЕНКО РАЗРЕШИМЫЕ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ ИЗДАТЕЛЬСТВО БЕЛГОСУНИВЕРСИТЕТА имени В. И. ЛЕНИНА МИНСК - 1958 Светлой памяти моего отца Алексея Емелъяновича Супруненко Группа всех невырожденных линейных преобразований п - мерного линейного пространства над полем Р называется полной линейной группой над Я. Самая ранняя проблема теории групп—проблема построения разрешимых групп подстановок, поставленная еще Галуа, привела к изучению подгрупп полной линейной группы над конечным полем. Первой книгой, посвященной линейным группам, явился знаменитый Traite des Substitutions Жордана. Хотя в кНиге Жордана имеется огромное количество результатов, относящихся к теории групп подстановок, к теории квадратичных форм, к теории матриц (здесь же содержится и широко известная нормальная форма Жордана), ее главная часть занята построением разрешимых подгрупп полной линейной группы над конечным полем. В дальнейшем разрешимые подгруппы полной линейной группы над конечным полем изучались О. Ю. Шмидтом, Бухтом и многими другими авторами. Как и Жордан, О. Ю. Шмидт и Бухт эти исследования проводили в прямой связи с высказанной проблемой Галуа. Разрешимые подгруппы полной линейной группы над алгебраически замкнутым полем рассматривались Цассенхаусом в связи с изучением дискретных линейных групп. Цассенхаус доказал, что всякая подгруппа полной линейной группы обладает максимальным разрешимым нормальным делителем. Цассенхаус также доказал разрешимость локально разрешимой линейной группы и ограниченность длины ряда коммутантов разрешимой линейной группы фиксированной степени. Последние десятилетия алгебраисты много занимались абстрактными разрешимыми и нильпотентными группами. ЗАесь наиболее значительными являются результаты А. И. Мальцева, С. Н. Черникова, О. Ю. Шмидта, Бэра, Гирша, В. М. Глуш- кова, Б. И, Плоткин. 5 А. И. Мальцев в связи с построением некоторых классов разрешимых абстрактных групп рассмотрел ряд свойств разрешимых линейных групп и доказал теорему о том, что разрешимая группа матриц над алгебраически замкнутым полем обладает инвариантной подгруппой конечного индекса, все матрицы которой одновременно приводятся к треугольному виду. Автор настоящей работы в статьях [15], [16], [23] сделал попытку провести систематическое исследование линейных разрешимых групп при различных предложениях относительно основного поля Я. Рассматривались случаи: 1) Я — произвольное поле, 2) Я — конечное поле, 3) Я—алгебраически замкнутое поле, 4) Я — поле действительных чисел. В ряде других статей мы изучали нильпотентные подгруппы Полной линейной группы (см. [17] —[22], [24]). Настоящая работа в основном представляет собой синтез всех статей автора о линейных разрешимых и о линейных нильпотентных группах. Занимаясь разрешимыми подгруппами полной линейной группы, мы уделяем главное внимание максимальным разрешимым подгруппам. Так как максимальная разрешимая подгруппа полной линейной группы вполне определяется своими неприводимыми частями и их порядком следования, то достйточно рассматривать максимальные неприводимые подгруппы полной линейной группы. * В свою очередь изучение максимальных неприводимых разрешимых подгрупп полной линейной группы сводится к изучению максимальных примитивных разрешимых подгрупп.