Читать онлайн «К теории конформных отображений»

Том ТРУДЫ V (DI/I311H0-MATEMATIUIECKOI‘ 0 ИНСТИТУТА mu. B. А. CTEHJIOBA ОТДЕЛ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ к ТЕОРИИ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ м. ллвгннтьвва Главным содержанием настоящей статьи является рассмотрение ряда экстремальных задач в теории конформных отображений односвязных областей. При решении этих задач, мы стремились придерживаться единого метода, основанного па изучении вариации функции, реализующей конформ- пое отображение области на круг, при вариации границы области. В соот- ветствии с эттпи тлачало статьи посвящено вспомогательным предлкогкениям, A ВЫЯВЛЯЮЦШМ простейшие свойства указанных вариаций. Далее (§ 2), весьма элементарным применением установленных лемм получается рстпенпе одной экстремальной задачи, связанной с конформным отображением на круг допол- нительных областей. Из этого результата, как следствие, получается извест- ное предложение Koebe-Bieberbaclfa в теории однолистиых функций. В § 3 рассматривается ряд предложений, являющихся естественным обоб- щением отмеченной теоремы Koebe-Bieberb:1. ch’a. B ё 4, на основе до- бытьтх вьпие элементарных опенок, дается ряд новых оценок для Функций, реализующих конформное отображение круга па области, с некоторыми снецнальньтьтхт свойствами. Добытые в этом параграфе оценки являются основными для решения некоторых метрических проблем (§ 5), возникаю- щих при рассмотрении соответствия границ при конформном отображении. Па основе исследований $4, во второй части решается одна задача о пред- ставимости Функций равномерно сходящимся рядом полиномов. Главная часть излагаемых здесь результатов получена за период 1927—1930 гг. и частично опубликована без доказательств в заметках: «Sur la Représentation conforme» (C. R. , 1927) и «Sur un Probléme minimal (Пана 1а Représentation conforms» (C. I{. , 1930). Частично эти результаты докладывались вМосковсколт математическом обществе на I Всесоюзном ма- тематическом съезде в Харькове в 1930 г. На теоремы § 4 существенно опи- раются результаты заметки: «Sur un Probléme de M. P. Monte1»(C. R. , 1 9 2 8). м 159 —  1 60 м. ЛАВРЕНТЬЕВ часть т . §1. Вариация границ. Начнем C доказательства двух принципов каче- ственного характера. Каждый из этих принципов уже давно известен, по мы приведем здесь как полные их формулировки, так и доказательства, так как во всем дальнейшем эти принципы будут иметь основное значение. Теорема. Пусть D и В’—две односвязные области, принадлежащие Римановой поверхности для комплексного переменного 2 и такие что: 1) D’ содержится в D; 2) границы областей D и D’ имеют общую связную часть Е, которая при нонформном отображении D на круг переходит в одну дугу окружности. Отобразим конформно области D и D’ Ha круг `?�� < 1 так, чтобы точка ш: 0 соответствовала одной и той же точке 20 обла—- стей D И D’. Пусть «В и oz’ 3’—-дуги окружности �#�� 1, которые соот- ветствутот при этих отображепиях континууму E1, принадлежащему ���� При этих условиях имеем: - . . . d ’ ` 1) принцип Lzndelo/’a: производная Ё при отображении D‘ vz=£o 1 ц ' ‚ на круг будет не больше, чем производная �W�� �/�� при отображении D на. тот же круг. . 2) npzmuun Montewz: длина дуги «В не меньше длины дуги ac’ В’.