Читать онлайн «Об универсально эквивалентных разрешимых группах»

Алгебра и логику 39, N 2 (2000), 227-240 УДК 512. 5 ОБ УНИВЕРСАЛЬНО ЭКВИВАЛЕНТНЫХ Р А З Р Е Ш И М Ы Х ГРУППАХ*) Е, И. ТИМОШЕНКО В [1] доказано, что для любого целого m ) 1 и любых гх,Г2 ^ 2 (ri,r2 ^ 1 при т = 1) свободные разрешимые группы Fri (A m ) и F f 2 (A m ) имеют одинаковые универсальные теории. О. Шапюи [2] получил классификацию метабелевых групп с двумя порождающими, имеющими ту же универсальную теорию, что и свободная метабелева группа. Оказывается, что так называемые V-свободные метабе- левы группы с двумя порождающими исчерпываются группами F2(A 2 ) и дискретным сплетением ZfZ двух бесконечных циклических групп. Мы доказываем более общую теорему 1, из которой следует первый из отмеченных результатов. С ее помощью доказывается теорема 2, где описываются все подгруппы с двумя порождающими из декартова произ­ ведения свободных разрешимых групп одной ступени разрешимости, уни­ версально эквивалентные свободной разрешимой группе той же ступени разрешимости. Так как любая конечно-порожденная метабелева группа конечно определена в многообразии метабелевых групп [3] и потому вкла­ дывается в декартову степень свободной метабелевой группы (следствие 5), отсюда следует второй из указанных результатов. При доказательстве универсальной эквивалентности двух групп С?, *' Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект N 99-01-00567, а также научной программой Министерства образования Российской Федерации "Фундаментальные исследования высшей школы. И. Тимошенко Н необходимо и достаточно убедиться в том, что любая конечная подмо­ дель из одной группы изоморфно вкладывается в другую. Все необходимые и используемые без доказательства утверждения содержатся в [4]. Т Е О Р Е М А 1. Пусть F(B) — свободная группа многообразия В , ап­ проксимируемая конечными р-группами для бесконечного набора простых чисел р. Если подгруппа G группы F(B) порождает то же многообразие, что и группа F ( B ) , то универсальные теории групп G и F(B) совпадают. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку G является подгруппой в F ( B ) , достаточно доказать, что каждая конечная подмодель из F(B) имеет изо­ морфную копию в G. Согласно определению 17. 12 из [4], группа D называется дискрими­ нирующей, если каждое конечное множество равенств w = 1, которые нарушаются в группе £>, можно нарушить в D одновременно. По теореме 17. 9 из [4], если группа D аппроксимируется конечными р-группами для бесконечного набора простых чисел р, то она является дискриминирую­ щей. Значит, G ~ дискриминирующая группа. Пусть F — свободная группа того же ранга, что и группа F ( B ) , a #i,ar 2 ,... ~ базис группы F. Обозначим через V вербальную подгруппу многообразия В . Тогда F(B) = F/V. Пусть модель М состоит из конечного числа произвольных элемен­ тов группы F ( B ) .