Читать онлайн «О некоторых вопросах гомологической алгебры»

«1 A. OROTHENDiECK SUR QUELQUES POINTS D'ALGEBRE HOMOLOGIQUE Tohoku Mathematical Journal, second series, vol. 9, № 2, 3, 1957 THE TOHOKU UNIVERSITY SENDAI, JAPAN БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА . МАТЕМАТИКА· А. ГРОТЕНДИК О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ Перевод с французского Б. Б. В Ε Η К О В А, А. В. Р У К О Л А Й Η Ε, Б. В. СТЕПАНОВА Под редакцией А. Л. ОНИЩИКА ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1961 АННОТАЦИЯ Публикуемая в этой брошюре работа А. Гротен- дика посвящена теории пучков — бурно развивающейся области современной алгебраической топологии, которая находит себе многочисленные приложения в различных вопросах алгебры, геометрии и анализа. Автор принадлежит к числу математиков, наиболее интенсивно работающих в данной области. Основная идея настоящей работы заключается в том, что теория когомологий с коэффициентами в пучках рассматривается в рамках гомологической алгебры в общих абелевых категориях. Более подробное изложение теории пучков можно найти в выпускаемой Издательством иностранной литературы монографии Годемана. Настоящая брошюра рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов. Редакция литературы по математическим наукам ВВ БДЕНИЕ1) I. Содержание работы. Настоящая работа возникла из попытки использовать формальную аналогию между теорией когомологий пространства с коэффициентами в пучке [4], [5] и теорией производных функторов от функторов модулей [6] для того, чтобы найти сощую схему, позволяющую объединить эти и другие теории. Эта общая схема намечена в гл. I, тема которой совпадает с темой работы [3]. Однако эти два изложения нигде не перекрываются, за исключением п. 1. 4. Я обращаю особое внимание на то, чтобы с помощью понятия бесконечных сумм и произведений в абелевых категориях дать удобные критерии для существования „достаточного количества" инъ- ективных или проективных объектов, бгз чего невозможно существенное приложение гомологической техники. Кроме того, для удобства читателя довольно большое место уделено изложению функторного языка (п. 1. 1, 1. 2, 1. 3). В п. 1. 3 до определения абелевой категории вводится понятие аддитивной категории (оно оказывается удобным, например, при изучении спектральных функторов в гл. II). Глава II содержит очерк существенных моментов гомологического формализма в абелевых категориях. Появление книги [6] позволило мне быть очень кратким, так как техника Картана — Эйленберга переносится на нашу схему без всяких изменений. Однако п. 2. 1 и 2. 2 написаны так, чтобы не исключать абелевых категорий, не содержащих достаточно ') Существенные результаты глав I, II, IV и частично главы III возникли весной 1955 г. в связи с семинаром по гомологической алгебре, который проводился в Канзасском университете. 6 Введение большого количества инъективных или проективных объектов. В следующих пунктах используется в полную силу обычная техника резольвент. Пункты 2. 4 и 2. 5 содержат различные дополнения и являются необходимыми для понимания последующего.