Читать онлайн «Пределы. Непрерывность. Дифференцируемость. Ряды»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ С. К. Водопьянов ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ. РЯДЫ Учебное пособие Новосибирск 2013  ББК В. 162. 12 УДК 517. 5 А465 Водопьянов С. К. Пределы. Непрерывность. Дифференцируемость. Ряды: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2013. 203 с. В пособии изложены основы анализа в объёме, соответствующем про- грамме базового предмета «Математический анализ», читаемого сту- дентам 1-го курса механико-математического факультета НГУ. Изло- жение начинается с аксиоматического описания поля вещественных чи- сел. Теория пределов изложена на расширенной вещественной прямой. Свойства элементарных функций выводятся из свойств экспоненциаль- ной функции. Завершают пособие дифференциальное исчисление функ- ций одной переменной и теория рядов. Приведены задачи, рекомендуемые для решения на практических занятиях по указанному курсу. Предназначено студентам и преподавателям механико-математичес- кого факультета НГУ и других вузов с математическим профилем. Рецензент c Новосибирский государственный университет, 2013 2 Содержание Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1 Вещественные числа 10 1. 1 «Наивное представление о числах»: совокупности чи- сел, известные из «школьного» курса математики . . . 10 1. 2 Аксиоматический подход к описанию действительных чисел. Свойства алгебраических операций (аксиомы поля). Следствия из аксиом. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1. 3 Аксиомы порядка. Согласованность с алгебраически- ми операциями. Следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1. 4 Аксиома непрерывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1. 5 Абсолютная величина числа. Расстояние между точ- ками и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1. 5. 1 Неравенства треугольника . . . . . . . . . . . . . . 15 1. 5. 2 Расстояние между точками на вещественной пря- мой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1. 5. 3 Положительная и отрицательная части веще- ственного числа. Понятие знака числа . . . . . . 17 1. 6 Понятие промежутка. Лемма о непустоте промежутка и ее следствие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1. 7 Верхние и нижние границы числового множества. Огра- ниченные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1. 8 Понятие наибольшего и наименьшего элементов чис- лового множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1. 9 Понятие точной верхней и точной нижней границ чис- лового множества и их существование . . . . . . . . . . 21 1. 9. 1 Теорема о существовании точной верхней и точ- ной нижней границ непустого числового мно- жества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1. 9. 2 Признак точной верхней и точной нижней границ 22 1. 9. 3 Точные верхние и нижние границы промежутка 23 1. 9. 4 Соотношения для sup и inf вложенных множеств 24 1. 10 Индуктивные множества.