Читать онлайн «Римановы поверхности»

Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 1 Издание выходит с 2006 года Е. М. Чирка Римановы поверхности Москва 2006 УДК 517. 5 ББК (В)22. 16 Л43 Редакционный совет: С. И. Адян, Д. В. Аносов, О. В. Бесов, И. В. Волович, А. М. Зубков, А. Д. Изаак (ответственный секретарь), А. А. Карацуба, В. В. Козлов, С. П. Новиков, В. П. Павлов (заместитель главного редактора), А. Н. Паршин, Ю. В. Прохоров, А. Г. Сергеев , А. А. Славнов, Д. В. Трещев (главный редактор), Е. М. Чирка Л43 Лекционные курсы НОЦ / Математический инсти- тут им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). — М. : МИАН, 2006. Вып. 1: Римановы поверхности / Чирка Е. М. — 106 с. ISBN 5-98419-011-7 Серия “Лекционные курсы НОЦ” — рецензируемое продолжающе- еся издание Математического института им. В. А. Стеклова РАН. В се- рии “Лекционные курсы НОЦ” публикуются материалы специальных курсов, прочитанных в Математическом институте им. В. А. Стекло- ва Российской академии наук в рамках программы Научно-образова- тельный центр МИАН. Настоящая брошюра содержит полугодовой курс Е. М. Чирки “Ри- мановы поверхности”, прочитанный в осеннем семестре 2005 года. ISBN 5-98419-011-7 c Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2006 ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Алгебраические кривые (введение) 7 Лекция 1. Аналитическое продолжение – Римановы обла- сти – Алгебраические функции – Подготовитель- ная теорема Вейерштрасса – Локальная парамет- ризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Лекция 2. Особые точки – Разрешение особенностей – Пове- дение в ∞ – Проекции – Формула Римана–Гурвица 15 Топология поверхностей и дифференциальные фор- мы 23 Лекция 3. Гладкие многообразия – Векторные поля – Диф- ференциальные формы – Цепи и интегрирова- ние – Лемма Пуанкаре – Когомологии де Рама . 23 Лекция 4. Хирургия ориентированной поверхности – Пото- ки – Регуляризация – d-проблема на ориентиру- емой поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Комплексные структуры на поверхности 43 Лекция 5. Римановы поверхности – Комплексные структу- ры – Почти комплексные структуры – Уравнение Бельтрами и голоморфные диски – Операторы Коши–Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Лекция 6. Лемма Вейля – Теорема единственности – Урав- нение голоморфных дисков – Существование го- ломорфных дисков – Комплексные структуры и метрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Вокруг оператора ∂¯ 57 ¯ Лекция 7. ∂ на потоках – Вычеты мероморфных форм – Дивизоры мероморфных функций и форм – ∂- ¯ проблема на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . 57 Лекция 8.