Читать онлайн «Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы: Методические указания. Часть 2»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра прикладной математики Н. В. ПОНОМАРЕВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Линейные преобразования и квадратичные формы ЧАСТЬ 2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Оренбург 2002  ББК 22. 143 я73 П-56 УДК 512. 64 (075. 8) Рецензент старший преподаватель кафедры прикладной математики ОГУ Тарасова Т. А. Пономарева Н. В. П-56 Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы: Методические указания. Часть 2. – Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ, 2002. – 53 с. Содержание предлагаемой работы составляют линейные преобразо- вания и квадратичные формы. Эти методические указания по курсу линей- ной алгебры предназначены прежде всего для студентов, которым читается курс, линейной алгебры. Методические указания также могут быть полезны молодым препо- давателям в их работе. ББК 22. 143 я73 © Пономарева Н. В. , 2002 © ГОУ ВПО ОГУ, 2002 2  Введение Учитывая, что «Линейная алгебра» читается на некоторых специально- стях отдельным курсом, данные методические указания помогут студентам при изучении этой дисциплины. Автор использовала свой опыт при чтении таких разделов, как линейный оператор, собственные значения и собственные векто- ры линейного оператора, квадратичные формы и приведение кривых второго порядка к каноническому виду. Этот опыт может быть полезен молодым пре- подавателям в их работе. 3  1 Линейные операторы 1. 1 Основные определения Определение 1. Оператором f, действующим из линейного пространства U в линейное пространство V (пишут f : U → V ), называется правило (закон), по которому каждому вектору х ∈ U ставится в соответствие единственный вектор у ∈ V . При этом вектор у = f ( х ) называется образом вектора х , а век- тор х называется прообразом вектора у . Из определения следует, что каждый образ имеет прообраз, но не каж- дый прообраз имеет образ, даже если и имеет, то не единственный. П р и м е р 1. Рассмотрим оператор f : Rn → R2 , определенный правилом ∀x = ( x1 , x 2 , ... , x n ) ∈ R n y = f ( x ) = ( x1 + x 2 + ... + x n , x1 ) ∈ R 2 . П р и м е р 2. Пусть ∀x ∈ R n ставится в соответствие нулевой вектор. Такой оператор называется нулевым O € . ( ) O€ : O€( х ) = o .