Читать онлайн «Методы нелинейного анализа в задачах управления и оптимизации»

московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М. В. ЛОМОНОСОВА ИНСТИТУТ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК С. В. Емельянов, С. К. Коровин, Н. А. Бобылев Методы нелинейного анализа в задачах управления и оптимизации УРСС Москва · 2002 ББК 22. 18, 22. 161. 8, 22. 311 Ответственный редактор академик РАН В. А. Садовничий Рецензенты: член-корреспондент РАН Ю. С Попков доктор физ. -мат. наук, профессор В. В. Белокуров Емельянов СВ. , Коровин С. К. , Бобылев Н. А. Методы нелинейного анализа в задачах управления и оптимизации. М. : Едиториал УРСС, 2002. - 120 с. ISBN 5-354-00202-8 В книге излагаются подходы к исследованию широкого круга нелинейных задач, базирующиеся на понятиях степени отображения, вращения векторного поля, топологического индекса. Приводятся приложения к задачам оптимального управления, теории колебаний, механики и математической физики, вариационного исчисления, теории игр и математической экономики. Издается по решению Ученого Совета Института системного анализа РАН и Ученого Совета факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова Издание осуществлено с готового оригинал-макета. 9"785354«002023"> ISBN 5-354-00202-8 МГУ им. М. В. Ломоносова, 2002 ИСА РАН, 2002 С. В. Емельянов, С. К. Коровин, Н. А. Бобылев, 2002 Едиториал УРСС, 2002 ОГЛАВЛЕНИЕ з ПРЕДИСЛОВИЕ ОТВЕТСТВЕННОГО РЕДАКТОРА 4 ПРЕДИСЛОВИЕ δ I. Математический аппарат 6 1. 1. Предварительные сведения 6 1. 2. Степень отображения 10 1. 3. Вращение векторного поля 11 1. 4. Векторные поля на плоскости 17 1. 5. Многозначные векторные поля 20 1. 6. Векторные поля в бесконечномерных пространствах 22 П. ПРИЛОЖЕНИЕ 27 2. 1. Принципы неподвижной точки и теоремы существования 27 2. 2. Задачи классического анализа, теории игр и математической экономики 32 2. 3. Задачи качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений 40 2. 4. Задачи теории нелинейных колебаний 49 2. 5. Задачи вариационного исчисления и оптимального управления 70 2. 6. Задачи механики и математической физики 80 2. 7. Сходимость численных методов 92 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ 101 ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА 103 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 107 4 Предисловие ответственного редактора Классический функциональный анализ, зародившийся в первой половине XX века, быстро сформировался в самостоятельную математическую дисциплину с чрезвычайно широким диапазоном приложений. Его идеи и методы проникли как в различные разделы математики, так и в смежные науки (классическая и квантовая механика, статистическая физика, математическая экономика и т. д. ). В течение довольно долгого времени объекты изучения функционального анализа были, как правило, линейными: линейные пространства, линейные функционалы и операторы, линейные операторные уравнения и др. Сравнительно небольшие разделы функционального анализа, относящиеся к нелинейной теории, связаны с принципами неподвижной точки, теоремами о неявной функции и дифференциальным исчислениям в бесконечномерных пространствах. В конце 60-х — начале 70-х годов прошлого века стало ясно, что с помощью линейной теории не удается адекватно описать такие явления, как турбулентность в гидродинамике, возникновение детерминированного хаоса в нелинейных динамических системах, бифуркационные явления в задачах нелинейной механики и т. д.