Читать онлайн «Абелевы группы и модули»

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ Серия выпускается под общим руководством редакционной коллегии журнала *Успехи математических наук» ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1969 А. П. МИШИНА, Л. А. СКОРНЯКОВ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ И МОДУЛИ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1969 517. 1 M71 УДК 519. 443 В монографии даются и исследуются аксиоматические определения понятий чистоты, кручения и полноты (делимости), играющих важную роль в теории абелевых групп. В последнее время в литературе появились различные обобщения этих понятий на модули. Почти все эти обобщения укладываются в предлагаемую в монографии схему. Цель монографии — подытожить успехи в этой" области и создать «трамплин» для дальнейших исследований. В изложении широко используются методы гомологической алгебры. Монография представляет интерес для научных работников, аспирантов и студентов, специализирующихся в области алгебры. 90-68 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 Вспомогательные результаты 9 § 1. Чистота 19 § 2. Кручение 81 § 3. Полнота 114 Добавление 131 Открытые вопросы 134 Литература 138 Указатель терминов 150 ПРЕДИСЛОВИЕ Общеизвестна та важная роль, которую играют в теории абелевых групп понятия чистоты (сервант- ности), кручения и полноты (делимости). В связи с развитием в последнее десятилетие теории модулей предпринимались многочисленные попытки приспособить к ней эти понятия. Да и в самой теории абелевых групп известны различные обобщения классического понятия чистоты. В настоящей монографии предлагается аксиоматический подход к определению указанных трех понятий. Эти определения охватывают почти все их обобщения, встречавшиеся в литературе. Среди исключений отметим определения делимости, предложенные Хаттори и Леви. Однако и для них находится место в общей схеме. В случае абелевых групп аксиоматически описанные кручение и делимость превращаются в весьма естественные обобщения классических понятий. Положение с чистотой несколько хуже, ибо найти описание всех чистот в случае абелевых групп пока не удалось. В связи с кручением излагаются основные вопросы теории радикала в модулях. В монографии широко используются понятия, методы и результаты гомологической алгебры. В частности, предполагается знакомство читателя с функторами Нот, ®, Ext и Тог, а также умение вести «диаграммный поиск». Те из относящихся сюда результатов, которые можно найти в книгах Картана и Эйленберга [б] или Маклейна [г], используются со ссылкой на эти книги. Отсутствующие в них сведения изложены во вспомогательном параграфе настоящей монографии. В отдельных случаях в основном 7 изложении допущены ссылки на другие источники. Во-первых, за определением сложения в группе Ext читатель отсылается к книге Хилтона и Уайли [ж], так как определение из книги Маклейна (разумеется, эквивалентное рассматриваемому) не совсем приспособлено к принятому в монографии изложению1). Во- вторых, предлагается ознакомиться с понятием прямого спектра по книге Стинрода и Эйленберга [е].