Читать онлайн «Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем»

]\Л\лиле~ль. Оде-Н Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем Перевод с английского О. Е. Орел, П. Е. Рябова Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика" Издательский дом "Удмуртский университет" 1999 УДК 517. 93 Библиотека «R&C Dynamics», том V Редакционный совет серии: В. В. Козлов (главный редактор) А. В. Борисов (ответственный редактор) Ю. А. Данилов (редактор-консультант) Серия организована издательством «УРСС» и редакцией журнала «Регулярная и хаотическая динамика» в 1998 г. и выпускается совместно. Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем. — Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. 215 с. — ISBN 5-7029-0312-9 Цель этой книги — показать роль некоторых современных методов в теории интегрируемых систем и пути их использования для получения топологической информации на примере задач механики. Обсуждаются наиболее важные результаты в области интегрируемых систем и связанные с ними математические методы (алгебраическая геометрия, теория представлений). Расчитана на научных сотрудников, аспирантов и студентов, интересующихся математической физикой, механикой, топологией. ISBN 5-7029-0312-9 Оригинал-макет подготовлен в редакции журнала «Регулярная и хаотическая динамика». Е. Орел, П. Е. Рябов © Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика», 1999 © Издательский дом «Удмуртский университет», 1999 Содержание Благодарности 5 Введение 7 1. Вполне интегрируемые системы 9 2. Теорема Арнольда-Лиувилля 14 3. Содержание метода 16 4. Об этой книге 24 5. Обозначения 28 Глава I. Твердое тело с неподвижной точкой 30 1. Уравнения 30 2. Проблема интегрируемости 35 3. Трехмерное свободное твердое тело и случай Эйлера-Пуансо 40 Глава II. Симметричный вращающийся волчок 47 1. Введение в теорию симметричных вращающихся волчков . 47 2. Пара Лакса и следствия из нее 55 Глава III. Волчок Ковалевской 74 1. Метод Ковалевской 74 2. Пара Лакса и спектральные кривые 84 3. Пары Лакса для обобщенных вращающихся волчков и приложения 97 Глава IV. Свободное твердое тело 104 1. Уравнения Эйлера и Манакова 104 2. Трехмерное свободное твердое тело 105 3. Замечания о четырехмерном твердом теле 111 Глава V. Некомпактные уровни: цепочка Тода 121 1. Дифференциальная система и спектральная кривая ... . 121 2. Отображение собственных векторов: случай п = 2 130 4 СОДЕРЖАНИЕ Приложения 141 1. Пуассонова структура на коалгебре Ли 141 2. Д-матрицы и «АКС-теорема» 151 3. Отображение собственных векторов и линеаризация потоков 161 4. Комплексные кривые, вещественные кривые и их якобианы 177 5. Многообразия Прима 194 Библиография 204 Предметный указатель 212 Благодарности Среди работ, оказавших на меня наибольшее влияние, есть три, которые я хочу здесь упомянуть. Мне очень повезло, что мое знакомство с интегрируемыми системами началось с изучения двух замечательных статей Вердьера [84] и Гриффитса [36], которые, тем не менее, редко цитируются. С одной стороны, у Вердьера я нашла замечательную идею иллюстрации работ Адлера и ван Мербеке на примере симметричного волчка.