Читать онлайн «Вариационные принципы и задачи математической физики»

» » т. и 'irnMLfiiufj:, jjpiJiJifHjjn л -ад^ш A r О D ! ^s^f M ""\ P В X MN: GP = GP3 : (4BP ■ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана В. И. Ванько Вариационные принципы и задачи математической физики Рекомендовано методической комиссией Научно-учебного комплекса «Фундаментальные науки» МГТУим. Н. Э. Баумана в качестве учебного пособия для студентов инженерных специальностей Москва 2010 УДК 530:517. 9(075. 8) ББК22. 311 В17 Рецензенты: нач. лаборатории ЦНИИмаш д-р техн. наук, проф. С. Н. Сухинин; д-р физ. -мат. наук, проф. кафедры «Математическое моделирование» МГТУ им. Н. Э. Баумана С. А. Агафонов Ванько В. И. В17 Вариационные принципы и задачи математической физики : учеб. пособие / В. И. Ванько. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010. - 191, [1] с. : ил. ISBN 978-5-7038-3372-8 В книге изложены основные вариационные принципы механики; демонстрируются приложения принципов к решению многочисленных задач математической физики. Принципы позволяют поставить задачу в терминах дифференциальных уравнений, т. е. вывести соответствующее уравнение и естественные краевые условия. Несмотря на то, что при этом ужесточаются требования к гладкости искомых решений (повышение порядка дифференцируемости в два раза), дифференциальные уравнения Эйлера - Лагранжа во многих случаях позволяют качественно исследовать свойства экстремалей. Если не удается получить дифференциальное уравнение, которое имеет решение, в арсенале исследователя остается возможность использования так называемых прямых методов. В данной работе продемонстрированы оба подхода. Для студентов и аспирантов, а также преподавателей и специалистов. УДК 530:517. 9(075. 8) ББК22. 311 © Ванько В. И. , 2010 © Оформление. Издательство ISBN 978-5-7038-3372-8 МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Глава 1. Вариационные принципы 7 1. 1. Дифференциальные принципы 8 1. 2. Принцип Мопертюи - Лагранжа 16 1. 3. Принцип стационарного действия Гамильтона 23 1. 4. О характере экстремума действия по Гамильтону 27 1. 5. Каноническая форма системы уравнений Эйлера. Функция Гамильтона 30 1. 6. Канонические преобразования. Теорема Нетер 36 1. 7. Приложения теоремы Нетер: законы сохранения 44 1. 8. Минимальные принципы в теории упругости 48 Глава 2. Вариационное исчисление и задачи математической физики 61 2. 1. Система с конечным числом степеней свободы 61 2. 2. Принцип возможных перемещений для деформируемого тела 66 2. 3. Колебания струны 76 2. 4. Колебания стержня 79 2. 5. Мембрана под давлением 85 2. 6. Движение идеальной жидкости 92 2. 7. Аэродинамическая задача Ньютона 103 2. 8. Чистый изгиб упругой балки 119 2. 9. Эйлерова критическая сила 124 Глава 3. Прямые методы вариационного исчисления 130 3. 1. Основные сведения из функционального анализа 131 3. 2. Минимизирующие последовательности 149 3. 3. Метод Ритца 159 3. 4. Метод Канторовича 166 3. 5. Метод Эйлера 169 4 Оглавление 3. 6. Метод наискорейшего спуска 172 3. 7. Метод Бубнова - Галеркина 174 3. 8. Метод наименьших квадратов 176 3. 9. Метод локальных вариаций 178 3. 10.