Читать онлайн «Методы решения задач по теме "Интегральные уравнения, краевые и спектральные задачи": учебно-методическое пособие»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ» Е. Б. Сандаков, Ю. Н. Гордеев, В. М. Простокишин МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ» Учебно-методическое пособие Москва 2012 УДК 517. 968(07) ББК 22. 161. 6я7 С 18 Сандаков Е. Б. , Гордеев Ю. Н. , Простокишин В. М. Методы решения задач по теме «Интегральные уравнения, краевые и спектральные задачи»: Учебно-методическое пособие. – М. : НИЯУ МИФИ, 2012. – 64 с. Пособие разбито на восемь занятий. В начале каждого занятия дан теоретический материал, а затем изложены методы решения задач по дан- ной теме. Также приведено решение большого количества интересных задач, которые помогут студентам лучше понять материал рассматривае- мой темы . Предназначено для преподавателей НИЯУ МИФИ, ведущих лекцион- ные и практические занятия по дифференциальным и интегральным урав- нениям на 2-м курсе всех специальностей. Рецензент д-р физ. -мат. наук, проф. И. М. Петрушко ISBN 978-5-7262-1734-5 © Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2012 Редактор М. В. Макарова Оригинал-макет изготовлен С. В. Тялиной Подписано в печать 18. 09. 2012. Формат 60×84 1/16. Уч. -изд. л. 4,0. Печ. л. 4,0. Тираж 290 экз. Изд. № 011-1. Заказ № 219. Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». Типография НИЯУ МИФИ. 115409, Москва, Каширское ш. , 31. 2 ОГЛАВЛЕНИЕ Первое занятие. Интегральные уравнения. Основные определения и теоремы существований ... ... . . 4 Второе занятие. Итерированные ядра. Резольвента оператора... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 7 Третье занятие. Теоремы Фредгольма и интегральные уравнения с вырожденным ядром ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 11 Четвертое и пятое занятия. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах... ... ... ... ... ... ... 19 Шестое и седьмое занятия. Компактные операторы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 29 Восьмое занятие. Краевые и спектральные задачи ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 44 Раскладка задач по занятиям ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 64 Литература ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 64 3 Первое занятие. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЙ Интегральные уравнения содержат искомую функцию под зна- ком интеграла. Пусть G − ограниченная область из R n с кусочно-гладкой гра- ницей. Рассмотрим линейные интегральные уравнения вида ∫ K(t, s)x(s)ds = y(t), (1) G ∫ x(t ) = μ K(t, s) x(s)ds + y(t ), (2) G где x(t ) − искомая функция (t ∈ G) , а y(t ) и K(t, s) − заданные функции, определенные, соответственно, в G и G × G ; μ − ком- плексное число (параметр).