Читать онлайн «Элементы теории устойчивости»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО А. В. Рябова, В. Ю. Тертычный-Даури ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Учебное пособие Санкт-Петербург 2015 Рябова А. В. , Тертычный-Даури В. Ю. Элементы теории устойчи- вости. Учебное пособие. — СПб: Университет ИТМО, 2015. — 208 с. В пособии излагаются основы качественной теории устойчивости решений дифференциальных уравнений и движений динамических систем разного вида. Весь материал разбит на главы, в которых достаточно подробно излагаются важнейшие понятия, теоремы об устойчивости решений дифференциальных уравнений, методы Ляпунова в теории устойчивости, устойчивость систем автомати- ческого управления и специальные вопросы теории устойчивости. Пособие предназначено для студентов всех специальностей, про- шедших учебную подготовку по курсу «Высшая математика» и интересующихся вопросами устойчивости прохождения тех или иных процессов в реальных динамических системах. Предназна- чено для студентов всех технических специальностей, аспирантов, научных сотрудников и преподавателей. Список литературы — 168 наим. Рецензенты: д. физ. -мат. н. , профессор Шориков А. Ф. к. физ. -мат. н. , доцент Потапов А. П. Одобрено на заседании кафедры ВМ, протокол № 4 от 28. 08. 2015 Одобрено Ученым советом ЕН факультета, протокол № 5 от 23. 09. 2015 Университет ИТМО — ведущий вуз России в области информа- ционных и фотонных технологий, один из немногих российских ву- зов, получивших в 2009 году статус национального исследователь- ского университета. С 2013 года Университет ИТМО — участник программы повышения конкурентоспособности российских универ- ситетов среди ведущих мировых научно-образовательных центров, известной как проект «5 в 100». Цель Университета ИТМО — ста- новление исследовательского университета мирового уровня, пред- принимательского по типу, ориентированного на интернационали- зацию всех направлений деятельности.  c Университет ИТМО, 2015  c Рябова А. В. , Тертычный-Даури В. Ю. , 2015 Оглавление Введение 4 Глава 1 Устойчивость решений дифференциальных уравнений 6 1. 1 Основные понятия теории устойчивости . . . . . . . . 9 1. 2 Теоремы об устойчивости систем линейных диффе- ренциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1. 3 Некоторые критерии устойчивости . . . . . . . . . . . 32 1. 4 Устойчивость решений нелинейных дифференциаль- ных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Глава 2 Методы Ляпунова в теории устойчивости дви- жения 53 2. 1 Первый метод Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2. 2 Первый метод Ляпунова (продолжение) . . . . . . . . 66 2. 3 Второй (прямой) метод Ляпунова . . . . . . . . . . . . 79 2. 4 Второй метод Ляпунова (продолжение) . . . . . . . . 89 Глава 3 Устойчивость систем автоматического управ- ления 98 3. 1 Абсолютная устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3. 2 Стабилизация управляемых движений . . . . . . . . . 110 3. 3 Устойчивость и оптимальность процессов управления 120 3. 4 Синтез стабилизирующих адаптивных управлений . . 131 Глава 4 Специальные вопросы теории устойчивости 138 4. 1 Устойчивость движения механических систем . . . . 139 4. 2 Устойчивость систем с распределенными параметрами 148 4. 3 Устойчивость решений ДУ в банаховом пространстве 157 4. 4 Устойчивость стохастических систем . . . . . . . . . . 169 Задачи и упражнения 178 Список литературы 191 Введение При изучении вопросов, связанных с решением задач об устой- чивости движений динамических объектов, возникают пробле- мы выяснения характера поведения решений и асимптотических свойств решений уравнений, описывающих эти объекты.