Читать онлайн «Определенный интеграл»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Определенный интеграл Учебное пособие Ставрополь, 2015 УДК 517. 38 ББК 22. 16. 1 я 7 Я 641 Яновский А. А. Определенный интеграл: учебное пособие/ Яновский А. А. – Ставрополь. – 2015. – 51 с. Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических направлений обучения и содержит элементы базового теоретического материала из раздела Математический анализ» и примеры решения задач. © А. А. Яновский, 2015 2 § 1 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. НИЖНЯЯ И ВЕРХНЯЯ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СУММЫ Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Вычисление площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т. д. сводится к вычислению определенного интеграла. Рис. 1. Рис. 2. Пусть на отрезке  a; b задана непрерывная функция y  f  x  (рис. 210 и 211). Обозначим через m и М ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Разобьем отрезок  a; b на n частей точками деления a  x0 , x1 , x2 ,... , xn1 , xn  b , причем x0  x1  x2  ...  xn , и положим x1  x0  x1 , x2  x1  x2 ,... , xn  xn 1  xn . Обозначим, далее, наименьшее и наибольшее значения функции f  x  на отрезке  x0 ; x1  через m1 и M 1 на отрезке  x1; x2  через m2 и M 2 ,... , на отрезке  xn1; xn  через mn и M n . Составим суммы n S n  m1x1  m2 x2  ...  mn xn   mi xi , (1) i 1 n S n  M 1x1  M 2 x2  ...  M n xn   M i xi . (2) i 1 Сумму S n называют нижней интегральной суммой, а сумму S n - верхней интегральной суммой. 3  Если f  x   0 , то нижняя интегральная сумма численно равняется площади «вписанной ступенчатой фигуры» AC0 N1C1 N 2 ... Cn1 N n BA, ограниченной «вписанной» ломаной, верхняя интегральная сумма численно равняется площади «описанной ступенчатой фигуры» AK 0C1K1... C n1K n1C n BA, ограниченной «описанной» ломаной. Рис. 3. Отметим некоторые свойства верхних и нижних интегральных сумм. а) Так как mi  M i для любого i  i  1,2,... , n  , то на основании формул (1) и (2) имеем S n  S n. (3) (Знак равенства будет только в случае, если f  x   const. ) б) Так как m1  m, m2  m,... , mn  m , где m – наименьшее значение f  x  на  a; b , то S n  m1x1  m2 x2  ...  mn xn  mx1  mx2  ...  mxn   m  x1  x2  ...  xn   m  b  a.  Итак, S n  m  b  a . (4) 4 в) Так как M 1  M , M 2  M ,... , M n  M , где M – наибольшее значение f  x  на  a; b , то S n  M 1x1  M 2 x2  ...  M n xn  M x1  M x2  ...  M xn  M  x1  x2  ...  xn   M  b  a.  Итак, S n  M  b  a . (5) Соединяя вместе полученные неравенства, имеем m  b  a   S n  S n  M b  a . (6) Если f  x  0 , то последнее неравенство имеет простой геометрический смысл (рис. 212), так как произведения m  b  a  и M  b  a  соответственно численно равны площадям «вписанного» прямоугольника AL1L2 B и «описанного» прямоугольника AL1 L 2 B.