Читать онлайн «Упражнения по функциональному анализу»

министерство науки, высшей школы и технической политики россии скоп федерации нижегородский ордена трудового красного знамени государственный университет им. и. и, лобачевского А. В. Абросимов, В. А. Калягин, А. А. Ряби пни, В. Н. Филиппов УПРАЖНЕНИЯ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ Учебное пособие Издательство ННГУ Ннжнш! Новгород, 1692 Введение. функциональный аяадно - раодеп математики, основной оадачей которого хвлхетсх изучение бесконечномерных пространств ■ их отображений. На первый вигллд может хаоатьсх, что одесь повторяются на новом яоыха известные факты классического аналноа. По мере обогащение аппарата функционального аналноа, угдублеыил исследований, открытия новых ofrb- ехтов ■ фактов стадо лево, что это новак а фундаментальна* часть аяа- виоа. С самого начала раовнтих функционального аналноа стимулировалось ках внутренними потребностамя самой математики (прежде всего таких ее раодепов, как вариационно* исчисление, интегральные уравнении, гармонический аналио), так и прикладными оадачами, особенно оадачами квантовой механики. Рвлвитне функционального аналноа проходило параллельно с раовитием современной теоретической фиоики, в частности, выкеннлось, что коык функционального аявлиоа наиболее адекватно отражает оахономерности квантовой теории, статистической механики и т. п. Функциональный анали-. ' как самостоятельный рапдед математики сцо- жхшех на рубеже 19 и 20 веков н оформило* в самостохтельную теорию в 20-30 годы нашего века под влиянием потребностей теории интегральных н дифференциальных уравнений с одной стороны и теория функддй- с другой. Курс функционального аналноа традиционно выоывает трудности у студентов. Цель настоящего пособия - помочь в овладении основными понятиями предмета с помощью решения простых, но содержательных оадач. Более сложные, а тем гаыыы а более интересные, оадачи можно найти в рекомендуемой литературе. Приступать х их решении рапумно после предложенного нами курса. 3 1 Мера и интеграл 1. 1 Алгебра множеств 1. Пусть Е и F -подмножества А. Покапать, что (а) СА(Е П F) = (САЕ) и (CAF) (b)CA(EUF) = {CB)n(CAF) (с) Подмножества Е П F, СВ(Е V F), CP{E U F), CA(E U F) обраоуют ралбиеняе /1. 2. Доказать принцип двойственности: пусть Аа С S,4 а. Тогда (Ь)5\иаЛ. =П„(5\>1«) 3. Пусть {А,} - пронпвольвяя последовательность множеств. Верхним ■ нижним пределом отой последовательности налыввютса множества оо оо ао ер ИтвирДп = р) у Ат, ЬшЫЛ„= U П Л" (1=1 m=n я=1 m=n (a) Опвсать(ш> жахнх влсментов состоят вти множества (b) Докапать, что ОО ОО Р) Ап Cnmiiif Ап С ШпаирД, С |J j4. n=l «=1 (c) Докапать, что гсяи последовательность {Ап} монотонно воора- стает или убывает по отношению к вжточению, то fim inf Ащ = lim впр А„ (d) Привестя пример последовательности, для которой верхний и ■нижний пределы рагшггаы. 4 (е) Доказать, что если АпС Е для любого п, то £\limsup Л. = liminf(£;\;4n) 4. Для оадавиой последовательности множеств {А„} построить последовательность попарно непересекающихся иножеств {В„} тахжх, что в. сл (jA. =UB- Б.