Читать онлайн «Избранные разделы курса "Векторный анализ" (теория и примеры)»

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Московский инженерно-физический институт (государственный университет) А. С. Логинов, Н. В. Мирошин, С. Г. Селиванова Избранные разделы курса «Векторный анализ» (теория и примеры) Москва 2009 УДК 514. 742. 4(07) ББК 22. 151. 5я7 Л69 Логинов А. С. , Мирошин Н. В. , Селиванова С. Г. Избранные разделы курса «Векторный анализ» (теория и примеры): Учебно- методическое пособие. - М. : МИФИ, 2009. – 96 с. Данное пособие предназначено для студентов МИФИ второго кур- са (3-й семестр) факультета «Т». В нем содержится материал по базо- вым разделам теории двойных, тройных, криволинейных и поверхно- стных интегралов. Кроме этого, в пособие включены элементы теории поля, дифференциальные операторы. Отдельная глава посвящена ин- тегралам, зависящим от параметра. Эти разделы составляют лекцион- ный курс «Векторный и тензорный анализ», за исключением послед- них разделов курса, посвященных началам тензорного исчисления, которые в настоящем пособии не рассматриваются. Перед каждым разделом приводятся теоретические сведения, необходимые для ре- шения задач, после чего разбираются примеры по соответствующей теме. Теоретические материалы, непосредственно не относящиеся к задачам, приведенным в пособии, исключаются из рассмотрения. Рецензент: д. ф. –м. н. Ю. Н. Гордеев Рекомендовано редсоветом МИФИ в качестве учебного пособия © Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2009 ISBN 978-5-7262-1118-3  Оглавление Глава 1. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1. 1. Вычисление двойных интегралов ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5 1. 1. 1. Интегрирование по прямоугольнику ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5 1. 1. 2. Интегрирование по области, представляющей собой криволи- нейную трапецию ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 6 1. 2. Замена переменных в двойном интеграле ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 8 1. 2. 1. Отображение плоских областей ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 8 1. 2. 2. Вычисление площади при отображениях ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 9 1. 2. 3. Примеры отображений ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 9 1. 2. 4. Замена переменных в двойном интеграле ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 12 1. 3. Тройные интегралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16 1. 3. 1. Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 16 1. 3. 2. Сведение тройного интеграла к повторному интегралу для об- ластей общего вида ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 18 1. 3. 3. Замена переменных в тройном интеграле ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 20 1. 3. 4.