Читать онлайн «Четвертая проблема Гильберта»

А. В. ПО ГОРЕЛОВ ЧЕТВЕРТАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА* ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1974 517. 5 Π 43 УДК 513. 0 АННОТАЦИЯ Книга содержит решение известной проблемы Гильберта об определении всех с точностью до изоморфизма реализаций систем аксиом классических геометрий (Евклида, Лобачевского, эллиптической), если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятие угла, и пополнить эти системы аксиомой «неравенство треугольника». Книга рассчитана на студентов-геометров старших курсов, аспирантов и научных работников. © Издательство «Наука», 1974. _ 20203-049 _. П 053(01)-74 61"74 ВВЕДЕНИЕ В 1900 г. на II Международном конгрессе математиков в Париже Д. Гильберт сформулировал ряд проблем, исследование которых, по его мнению, может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки. Четвертая проблема была посвящена основаниям геометрии. В изложении самого Гильберта она состоит в следующем [1]. «Когда мы из всей системы аксиом, необходимых для построения обыкновенной евклидовой геометрии, отбрасываем аксиому о параллельных и принимаем, что все остальные аксиомы выполняются, а эта не выполняется, то мы, как известно, приходим к геометрии Лобачевского (гиперболической геометрии). Мы можем поэтому сказать, что эта геометрия в некотором смысле является ближайшей к геометрии Евклида. Если мы потребуем далее, чтобы не выполнялась также аксиома, согласно которой из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими, то мы придем к геометрии Римана (эллиптической геометрии), которую в этом же смысле можно рассматривать как ближайшую к геометрии Лобачевского. Если мы захотим провести аналогичное по существу исследование по поводу аксиомы Архимеда, то, приняв, что эта аксиома не выполняется, придем к неархимедовым геометриям, которые были исследованы Веронезе и мною [2]. Более общий вопрос, возникающий при этом, заключается в следующем: 3 возможно ли еще с других плодотворных точек зрений построить геометрии, которые с таким же правом могли бы считаться ближайшими к обыкновенной евклидовой геометрии. При этом я хотел бы обратить ваше внимание на одно предложение, принимаемое некоторыми авторами даже за определение прямой линии, согласно которому прямая линия есть кратчайшее соединение двух точек. Содержание этого высказывания, по существу, сводится к предложению Евклида о том, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны; как легко видеть, теорема эта основана только на элементарных понятиях, т. е. таких, которые непосредственно получаются из аксиом и поэтому вполне доступны логическому исследованию. Евклид доказал эту теорему о треугольнике с помощью теоремы о внешнем угле, используя теоремы о конгруэнтности. Нетрудно, однако, убедиться в том, что для доказательства этой евклидовой теоремы недостаточно тех предложений о конгруэнтности, которые относятся к откладыванию отрезков и углов, а необходима еще теорема о равенстве треугольников.