Читать онлайн «Математические основы криптографии»

Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет) А. Г. Коробейников Математические основы криптографии Учебное пособие Санкт-Петербург 2002  2 УДК 511 Коробейников А. Г. Математические основы криптографии. Учебное пособие. СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2002. 41 с В учебном пособии представлен материал, необходимый для на- чального введения в теорию криптографичесих алгоритмов. Это в первую очередь теория групп, теория колец, теория полей и прикладная теория чисел. В каждом разделе рассмотрены примеры на соответствующие темы. Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 0754 "Комплексная защита объектов информатизации". Илл. – 3, список литературы – 9 наим.  Cанкт-Петербургский государствен- ный институт точной механики и оптики (технический университет), 2002  А. Г. Коробейников 2002  3 ВВЕДЕНИЕ Математические методы, используемые в криптографии, невоз- можно успешно освоить без знания таких алгебраических структур, как группы, кольца и поля. Поэтому знание и умение работать с этими объек- тами является необходимым условием для подготовки специалистов в области защиты информации. В силу присущей методам криптографии специфики, большой ин- терес представляет множество целых чисел и различные алгебраические структуры на его базе. Поэтому основное внимание будет уделено работе с целыми числами. В первой части введены базовые определения и понятия теории множеств, рассмотрено понятие "отображение" и определены бинарные отношения. Во второй части изучаются основные свойства, присущие целым числам. В третьей части рассмотрены различные множества с последую- щим определением на них бинарных операций. Определены понятия по- лугрупп и моноидов. В четвертой части определены и рассмотрены основные положения теории групп. Кратко изучены симметрическая и знакопеременная группа. В пятой части рассмотрены основные правила взаимодействия между группами. В шестой части определено понятие математического кольца, рас- смотрены общие свойства колец. Построено кольцо классов вычетов. Оп- ределены правила отображений из одного кольца в другое. Рассмотрены различные типы колец. В седьмой части определено понятие математического поля, рас- смотрены его общие свойства. Кратко изучены поля Галуа. В восьмой части определено понятие кольца многочленов, рас- смотрены его общие свойства, получены правила разложения в кольце многочленов и признаки факториальности колец, рассмотрен критерий неприводимости многочлена. Каждая часть сопровождается соответствующими примерами.  4 1. МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ 1. 1. МНОЖЕСТВА Математическое понятие множество является одним из цент- ральных во всей математике. Оно определяется в зависимости от задач.