Читать онлайн «Общая теория вихрей»

В. В. Козлов ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ВИХРЕЙ УДК 532. 527 ББК 22. 253. 315+22. 211 К 592 Библиотека «R&C Dynamics», том IV Редакционный совет серии: В. В. Козлов (главный редактор) А. В. Борисов (ответственный редактор) Ю. А. Данилов (редактор-консультант) К 592 Козлов В. В. Общая теория вихрей. — Ижевск. Изда- тельский дом «Удмуртский университет», 1998, 238 стр. ISBN 5-7029-0299-8 Книга посвящена математическому изложению аналогий, существующих между гидродинамикой, геометрической опти- кой и механикой. Оказывается, изучение семейств траекторий гамильтоновых систем по существу сводится к задачам много- мерной гидродинамики идеальной жидкости. В частности, из- вестный метод Гамильтона — Якоби отвечает случаю потенци- альных течений. Рассказано о некоторых приложениях такого подхода, в частности, о вихревом методе точного интегрирова- ния дифференциальных уравнений динамики. Рассчитана на научных сотрудников и аспирантов, интере- сующихся математической физикой, механикой и дифференци- альными уравнениями. ISBN 5-7029-0299-8 ББК 22. 253. 315+22. 211 Оригинал-макет подготовлен в редакции журнала «Регу- лярная и хаотическая динамика». © Издательский дом «Удмуртский университет», 1998 © Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика», 1998 Содержание Введение 5 Глава I. Гидродинамика, геометрическая оптика и клас- сическая механика 15 § 1. Вихревые движения сплошной среды 15 § 2. Точечные вихри на плоскости 24 § 3. Системы лучей, законы отражения и преломления, теорема Малюса 34 § 4. Принцип Ферма, канонические уравнения Гамильтона, оптико-механическая аналогия 42 § 5. Гамильтонова форма уравнений динамики 52 § 6. Действие в фазовом пространстве и инвариант Пуанкаре— Картана 63 § 7. Метод Гамильтона—Якоби и принцип Гюйгенса 72 § 8. Гидродинамика гамильтоновых систем 83 § 9. Уравнения Ламба и проблема устойчивости 95 Глава II. Общая теория вихрей 103 § 1. Уравнения Ламба и уравнения Гамильтона 103 § 2. Сведение к автономному случаю 108 § 3. Инвариантные формы объема 118 § 4. Вихревые многообразия 123 § 5. Уравнение Эйлера 132 § 6. Вихри в диссипативных системах 138 4 Содержание Глава III. Геодезические на группах Ли с левоинвариант- ной метрикой 146 § 1. Уравнения Эйлера—Пуанкаре 146 § 2. Вихревая теория волчка 154 § 3. Мера Хаара 163 § 4. Скобки Пуассона 169 § 5. Функции Казимира и вихревые многообразия 175 Глава IV. Вихревой метод интегрирования уравнений Га- мильтона 183 § 1. Метод Гамильтона—Якоби и теорема Лиувилля о полной интегрируемости 183 § 2. Некоммутативное интегрирование уравнений Гамильтона 189 § 3. Вихревой метод интегрирования 194 § 4. Полная интегрируемость фактор-системы 207 § 5. Системы с тремя степенями свободы 214 Дополнение 1. Инварианты завихренности и вторичная гидродинамика 218 Дополнение 2. Квантовая механика и гидродинамика . . 224 Список литературы 229 Предметный указатель 236 Введение Англичане преподают механику как нау- ку экспериментальную; на континенте же ее всегда излагают как науку более или менее дедуктивную и априорную.