Читать онлайн «Задачник-практикум по геометрии. Часть 2»

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ГЕОМЕТРИИ ЧАСТЬ II Учебное пособие для студентов-заочников II курса физико-математических факультетов педагогических институтов МОСКВА ^ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1979 Б. И. Аргунов, И. В. Парнасский, О. Е. Парнасская, М. М. Цаленко Редактор МГЗПИ О. Л. ПАВЛОВИЧ Рекомендовано к печати Главным управлением высших и средних педагогических учебных заведений Министерства просвещения РСФСР Изучение любого математического курса немыслимо без выработки навыков решения задач, что приобретает особое значение для студентов-заочников, позволяя им самостоятельно контролировать степень усвоения материала. Предлагаемый сборник написан в соответствии с действующей программой курса «Геометрия» и содержит задачи по следующим разделам: метод координат в пространстве, прямые и плоскости, выпуклые многогранники, поверхности второго порядка. Прежде чем приступить к разбору и решению задач, следует ознакомиться с необходимым теоретическим материалом (ссылки на который приводятся в начале каждого параграфа) по одному из следующих учебных пособий: 1. А т а н а с я н Л. С. Геометрия. Ч. I. M. , «Просвещение», 1973. 2. Базы лев В. Т. , Дуничев К. И. , Иваницкая В. П. Геометрия. Ч. I. M. , «Просвещение», 1974. ГЛАВА I МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Литература: [1], § 42; [2], раздел 2, § 1—3. 1. 1. Изобразить прямоугольную декартову систему координат пространства и построить точку Р (—2; 1; ]/3) по ее координатам. Решение. Обычно прямоугольную декартову систему координат изображают следующим образом: оси Оу и Oz взаимно перпендикулярны, причем ось Оу горизонтальна, ось Ох образует с осями Оу и Oz углы, величины которых равны 135°. По осям Оу и Oz единичные векторы откладываются без изменения масштаба, по оси Ох — с уменьшением масштаба в два раза (рис. 1)*. Согласно определению ([1], § 42, формула A); [2], раздел 2, § 1), 6р = ор1 + ор2 + ор^ где ~ОРг = _2Т, ОР2 = /, ОР3 = Y3k. Заменяя вектор ОР2 равным ему вектором РгР'2, а вектор ОР3 — вектором Р'2Р, получим: ОР = ОХ + PJ>\ + Р\Р = = —21 + ] + "|/з? Откладывание векторов ОРг=—2i и РгР2 = / выполняется непосредственно. * Описанный здесь способ изображения называется кабинетной проекцией. Вообще же прямоугольный декартов репер можно изобразить любой тройкой попарно неколлинеарных направленных отрезков с общим началом. Z «Г "л . р1 М . 4 / J2 0 У *р У Рис. 1 3 Рис. 2 Рис. 3 При построении вектора Р'2Р = "|/1$&, длина которого равна 1^3, необходимо воспользоваться тем, что, как известно, ту же длину 1^3 имеет сторона правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 1. 1. 2.