Читать онлайн «Принцип максимума»

Л. С. Понтрягин Принцип максимума Москва Фонд математического образования и просвещения 1998 Издание осуществлено Фондом математического образования и просвещения в честь 90-летия со дня рождения Л. С. Понтрягина Научное издание Лев Семенович Понтрягин Принцип максимума Компьютерный набор: Н. Н. Бахтина. Корректура: С. И. Комаров, О. В. Никишкина. Ответственный за выпуск: В. М. Имайкин. Лицензия ЛР № 765763 от 26. 03. 98 г. Подписано в печать 20. 06. 98. Объем 4,5 п. л. Тираж 1500 экз. Заказ №138 Отпечатано в ОАО "Оригинал" 101898, Москва, Центр, Хохловский пер. , 7. Оглавление Предисловие 4 Глава 1. Принцип максимума, формулировка 5 §1. Управляемые системы 5 §2. Задача оптимального управления 8 §3. Основной результат: "Принцип максимума" 9 Глава 2. Некоторые вспомогательные сведения 11 §4. Уравнение в вариациях И §5. Выпуклые множества 14 Глава 3. Доказательство принципа максимума 20 §6. Вариации Макшейна 20 §7. Сложение вариаций Макшейна 26 §8. Расширение класса рассматриваемых вариаций 28 Глава 4. Задача быстродействия 36 §9. Линейная задача быстродействия 38 Глава 5. Синтез некоторых задач быстродействия 45 §10. Быстрейшая остановка движущейся по инерции точки в заданном месте 45 §11. Быстрейшая остановка математического маятника ограниченной по модулю силой 51 Приложение. Оптимизация и дифференциальные игры. Научное сообщение 59 Предисловие Настоящая книжка имеет целью изложить важнейшие результаты, входящие в книгу "Математическая теория оптимальных процессов" четырех авторов — Л. С. Понтрягина, В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, не нанося при этом ущерба полноте и точности изложения. При написании ее я старался дать наиболее простые доказательства всем излагаемым результатам. Не знаю, удалось ли мне упростить доказательства, имеющиеся в книге четырех авторов, но, во всяком случае, объем книги резко сокращен — вместо двадцати печатных листов предлагаемая книжка содержит не более трех. В процессе написания книжки я часто встречался с трудностями при проведении доказательств. В этих случаях мне было достаточно обратиться за помощью к Р. В. Гамкрелидзе, который безотказно и немедленно давал разумный совет, за что я ему горячо благодарен. Выражаю также благодарность С. М. Асееву за помощь при редактировании рукописи. 3 сентября 1987 г. Л. Понтрягин Глава 1 Принцип максимума, формулировка Всюду в дальнейшем будут употребляться сокращенные обозначения для суммирования: именно, если в одночлене два раза встречается греческий индекс — один раз вверху и один раз внизу, — то одночлен этот означает сумму^по всем значениям индекса. Так, например, Ф*Ха, а = 0,1,... ,п, означает сумму ФаХ* = ФоХ° + ФгХ1 + ••' + ФпХп. §1. Управляемые системы Работа многих физических процессов и технических приборов описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, в которых независимым переменным является время t. Осуществляется это следующим образом. Предполагается, что состояние технического прибора в данный момент времени определяется несколькими величинами.